nombre de racines

[invitefc342db7]

Bonjour, j'ai un petit soucis à une question où l'on me demande de calculer les racines de T_n

T_n(cos x)=cos(n*x)

Donc je trouve cos( pi*(1+2k)/(2n) ) en cherchant cos(n*x) = 0

Mais comment expliquer que k € [0,n-1] ? Voila mon soucis...

Merci
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[PlaneteF]

Edit : Supprimé

[Amanuensis]

Annullé... Erreur

[Amanuensis]

Si vous prenez par exemple les valeurs 0 et n, que se passe-t-il ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc342db7]

k = 0, cos(pi/(2n))
k = n, cos(pi/(2n) + pi) = - cos(pi/(2n))

Je m'attendais à retomber sur mes pieds, ce qui m'embête un peu d'avoir ce résultat là...!
Je précise que deg T_n = n.

Et je vois pas vraiment ce qui m'assure que par exemple au rang 37 (je dis quelque chose au hasard...) on ne retombe pas sur une racine déjà calculée.

[PlaneteF]

La 1^ère chose à faire est de vérifier que pour il n'y ait pas 2 valeurs identiques de

Pour cela il suffit d'utiliser l'injectivité de la fonction sur et de vérifier que

k = 0, cos(pi/(2n))
k = n, cos(pi/(2n) + pi) = - cos(pi/(2n))

Je m'attendais à retomber sur mes pieds, ce qui m'embête un peu d'avoir ce résultat là...!

Que se passe t-il pour et

Que se passe t-il pour et

D'une manière générale, que se passe t-il pour et

Rappel :

Conclusion ...

Puis utilise ensuite le fait que la fonction est -périodique.

Et je vois pas vraiment ce qui m'assure que par exemple au rang 37 (je dis quelque chose au hasard...) on ne retombe pas sur une racine déjà calculée.

Ben bien sûr que si tu va retomber sur une racine déjà calculée, ... en raison du point précédent !

[invitefc342db7]

Merci PlaneteF, j'ai tout compris