[Algèbre linéaire] Matrice de passage d'une base à l'autre

[invite6cb24346]

Bonjour, j'ai une question que je me pose, soit E un K-espace vectoriel de dimension n

la matrice de passage d'une base à l'autre (par exemple d'une base B à B' de E) s'obtient en écrivant une matrice dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs de B' projetés dans la base B => P(B->B')

Dans tous les livres et cours où je me suis renseigné on a cette relation :

X = P(B->B').X' où X est de coordonnées dans B et X' de coordonnées dans B'


Or dans un TD un de mes prof a considéré un changement de base comme une application linéaire, on trouvais donc P(B->B') = A (Matrice de l'application linéaire obtenu en ayant comme vecteur colonne f(e1), f(e2) (= vecteurs de B') projeté dans la base B : e1, e2).
Jusque là pas de soucis, mais en considérant le problème comme cela on a :

f(X)= A.X = P(B->B').X = X'

Cependant cela contredit la formule : X = P(B->B')X' trouvée dans tous les cours ou livres que j'ai consulté... Et pourtant les résultats qu'on a trouvé dans cet exercice pour X' semblent cohérents... Je ne comprend pas d'où vient le problème.

Merci à vous,
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Il doit avoir un problème de notation. Si P(B->B') = A est la matrice dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs B' projetés dans la base B, alors il s'agit bien de la matrice de passage de la base B à la base B' (comme le laisse entendre la notation).

Dans ce cas, écrire X = P(B->B').X' est faux. Il faut écrire X' = P(B->B').X = A.X. En effet, vous devez partir des coordonnées X dans la base B pour pouvoir passer aux coordonnées X' dans la base B' (et non l'inverse).

Votre professeur a donc raison. Les livres et les cours n'ont pas forcément tort, mais il est possible qu'ils emploient des conventions différentes. Notamment, lorsque le changement de bases se fait entre bases orthogonales, prendre la convention d'écrire les vecteurs sous forme de colonnes ou de lignes inverse tout (Car dans ce cas A^{-1} = A^T - l'inverse du changement de base (c-à-d P(B'->B)) est égale à la transposée de la matrice correspondante).

[invite6cb24346]

En effet je suis egalement d'accord avec mon prof et vous ! mais vraiment tous les cours que jai pu voir dont celui fait par le prof d'amphi pose cela... Et jai bien fait attention de regarder les conventions utilisé pourtant... Attendez je vais vous montrer un exemple d"un des cours que jai trouvé

[invite6cb24346]

même wikipedia ! :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_passage

cours d'une prépa :

http://www.prepacom.net/HEC2/math/co...de%20bases.pdf

mon propre cours

mon cours d'algèbre linéaire de l'an passé egalement (je ne m'étais pas posé la question)

Cours paris 5 :

http://www.math-info.univ-paris5.fr/...cm/node10.html



Rhaa, ça me prend la tête

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6cb24346]

Personne pour voir où est le soucis ?

[invite6cb24346]

après quelques mails échangés mon prof d'amphi m'a fait comprendre qu'un changement de base n'était pas une application linéaire ! d'où la confusion. je lui ai renvoyé cela :

> Je conclue donc de tout ça qu'un changement de base n'est pas une
> application linéaire et qu'on a :
>
> pour un changement de base : X = P(B->B').X' et pour une composition
> de deux changements de base : X = P(B->B').P(B'->B'').X''
>
> pour une application linéaire : f(X) = A.X et une composition de deux
> application linéaire g(f(X))= B.A.X
>
> où P(B->B') est obtenu avec des vecteurs colonnes de coordonnées des
> vecteurs de B' dans la base B (de même pour P(B'->B''))
>
> et où A et B sont obtenu avec comme vecteurs colonnes les vecteurs
> images de la base de l'ensemble départ "projetée" dans la base de
> l'ensemble d'arrivée.
>
> Est-ce bien cela ?

reponse de mon prof d'amphi : C'est tout à fait ça !

Maintenant la question qui se pose c'est pourquoi mon prof de TD a considéré ça comme une application linéaire et pourquoi les résultats trouvés sont malgré tout correct... j'attend sa reponse.

Qu'en penses-tu Paraboloide_Hyperbolique ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

J'ai regardé vos références. Elles sont correctes. Comme je le soupçonnais c'est une question de convention: je suppose que vous lisez les matrices ligne par ligne (c'est ce que je fait habituellement) alors que les vecteurs sont rangés colonne par colonne.

Comme je l'ai mentionné dans mon post précédent (où je me suis fait avoir par cette convention), le fait de ranger les vecteurs par ligne ou par colonne inverse la transformation, d'où votre confusion.
En résumé, et contrairement à mon premier post:

X = P(B->B') X' si vecteurs rangés par colonnes
X' = P(B->B') X si vecteurs rangés par lignes.

Par contre, une transformation de coordonnées d'un espace vectoriel dans un autre est bien une application linéaire; sinon on ne pourrait pas l'écrire sous forme matricielle...
(En géométrie affine, une transformation de coordonnées n'est plus une application linéaire, mais une application affine: application d'une matrice + translation par un vecteur).

[invite6cb24346]

Non non je range bien les vecteurs de B' en colonne !, exactement comme dans les références... Je fais de même pour les application linéaires ou je met les f(ei) (avec ei vecteurs de la base de l'ensemble de départ) en colonne ! comme dans les références egalement. Donc si c'était bien considéré comme une application linéaire on aurait bien X'=P(B->B').X comme pour les application lineaire où on a f(X)=A.X (avec A matrice de l'appli.)

donc je ne comprend toujours pas...

[invite6cb24346]

Tanpis, je vais retenir la formule sans vraiment comprendre pourquoi, dommage