Espace vectoriel des polynômes, Dualité.

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Pourriez m'aider a comprendre, vers le milieu du document, la ligne des équivalences. f appartient a orthogonal de V <=> etc

Si j'ai bien compris, il faut en faite montrer que la forme linéaire f de Rn[X] dans R est la forme nulle sur Rn[X]

Or on sait que deux applications linéaire sont égales si et seulement si elles coincident sur les vecteurs d'une base
de Rn[X], c'est ce qui est écrit,, mais au départ on ne sait pas si les Pk est une base de Rn[X].

Je sais pas si je suis très clair. :/,


Merci d'avance.

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[inviteea028771]

En effet, il y a une coquille.

A la place de , il faut lire

[invite5ffffaa4]

Ok, mais il y toujours quelque chose que je n'ai pas saisie,
Pourquoi est ce que c'est équivalent ?

[gg0]

Bonsoir.

Je ne saisis pas trop ce qui te pose problème, alors je détaille :
L'orthogonal de est E, l'espace vectoriel tout entier (preuve facile). L'orthogonal de l'orthogonal est l'espace lui-même.

On prouve ainsi que
mais alors on a une famille de n+1 vecteurs qui engendrent un EV de dimension n+1. C'est donc une base.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ffffaa4]

C'est la deuxième équivalence un peu plus bas, que je ne comprend pas.

Pourquoi quelque soit P appartenant a V, f(P)=0 <=> quelque soit k variant de 0 a n, f(Pk)=0


Merci.

[gg0]

Parce qu'il s'agit d'une partie génératrice. Si une application linéaire est nulle sur une partie, elle est nulle sur le sev engendré (évident, non ?). la réciproque étant encore plus évidente.