Petit calcul pour le fun II

[Médiat]

Bonjour,

Je vous propose un autre petit calcul pour le fun (là encore c'est un peu trop technique pour le forum science-ludique).
On sait (c'est un bon exercice de le démontrer) que le nombre de combinaisons de p objets choisis parmi n, avec répétitions est .

Calculer :




Bien sûr, la démonstration est indispensable dans la réponse.

Merci de répondre sous spoiler pour ne pas gâcher le plaisir de ceux qui veulent ce creuser un peu les neurones ...
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Signification de "répondre sous spoiler " ?

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Utiliser les balises [SPOILER]Exemple de Spoiler[/SPOILER].

Ce qui donne

 Cliquez pour afficher

Exemple de Spoiler

Ce qui peut se faire avec le bouton [SPOIL] de la fenêtre d'édition avancée.

[invitef3414c56]

Re-bonjour,

Sauf erreur de calcul, on doit pouvoir faire comme ceci:

 Cliquez pour afficher

Soit

La valeur de la dérivée (n-1)-ième en 1 de S_n est .
Soit . La dérivée (n-1)-ième au point 1 de S_n est égale à la dérivée (n-1)-ième au point 0 de T_n, donc à (n-1)! fois le coefficient de y^{n-1} dans T_n(y). Donc U_n est le coefficient de y^n dans
, c'est à dire .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

pour le résultat qui est correct, mais je vous propose de suivre ce fil pour voir d'autres démonstrations (au moins une )

[0577]

Bonjour,

une proposition :

(je note (n,p) pour p parmi n, ma façons habituelle de faire sous Tex ne semblant pas marcher ici)

 Cliquez pour afficher

(n+p-1, p)= (n+p-1, n-1) est le nombre de polynômes homogènes de degré p en n variables.
U(n) est donc le nombre de polynômes en n variables de degré inférieur ou égal à n. En ajoutant
une variable pour "homogénéiser", on voit que c'est le nombre de polynômes homogènes de
degré n en (n+1) variables d'où U(n)= ((n+1)+n-1,n)=(2n,n).

[Médiat]

Bonjour,

C'est presqu'exactement la solution que j'avais en tête.

Pour le nombre de combinaisons, vous pouvez utiliser [TEX] { n \choose p}[/TEX] qui donne

 Cliquez pour afficher

La solution que j'avais en tête est tout simplement d'ajouter un élément "bidon" aux n de départ, de choisir n éléments (avec répétitions) parmi ces (n+1) éléments, puis de jeter l'élément "bidon" d'ou