Compter les morphismes

[invite705d0470]

Bonjour, je cherche à dénombrer les morphismes de groupes de vers .
J'ai peur de m'être légèrement embrouillé, donc je vous demande des pistes (juste le début, ou des remarques) si vous le voulez bien.
Voilà ce que j'ai fait:

- il me semble intéressant d'utiliser les générateurs du groupe de départ pour caractériser tous les morphismes que l'on peut créer, puisque si en est un on obtient .

- Je sais de plus que l'ensemble généré est aussi un sous groupe de B, et celà me semble assez restrictif car on sait caractériser les sous groupes avec (et ses générateurs, les "racines primitives").
Par exemple, on sait que l'ordre de divise n, on le note d, ce qui force

-et donc un ensemble interessant est peut être aussi ou p divise m. Car alors on vient de voir que y appartient: . (l'ordre de w^p divise d)
L'ordre de cet élément étant un diviseur de m aussi, on peut déjà conclure si que donc que le seul morphisme de groupe dans ce cas est la projection sur l'élément neutre.

Ouf. Mais sinon, je ne suis pas sûr.

Merci d'avance
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[invite332de63a]

Bonjour, tu as fait quelques remarques qui vont te permettre d'avancer, j'ai déjà fait tout çà tout seul il y a quelque temps, je pense qu'il faut que tu utilises la fonction indicatrice d'Euler pour aller plus loin.

[invite14e03d2a]

Salut,

note que puisque est un groupe cyclique, un morphisme de groupe de dans ( groupe quelconque) est entierement determine par la valeur d'un generateur, par exemple la classe [1] de 1. Donc il y a au plus n morphismes.

Mais on ne peut pas choisir arbitrairement la valeur de l'image ! On doit avoir . Donc ma doit etre un multiple de n. En fonction du pgcd de m et n, cela permet de determiner le nombre de morphismes.

(Ce qui precede n'est en fait qu'une reformulation de tes idees. Tu n'etais plus tres loin)

Alternativement, on peut identifier les morphismes de groupes de dans (c'est tres facile), puis verifier lesquels "passent au quotient".

Cordialement