Les morphismes de (Z/aZ,+) vers (Z/bZ,+)

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai fait un exercice qui consistait à déterminer les morphismes de groupes entre et (avec ), mais je ne trouve pas le même résultat que la correction (d'ailleurs, je trouve que la solution de la correction est fausse sur certains exemples, alors que la mienne non, donc soit j'ai raison soit je suis complètement passé à côté de l'exercice...). Voilà donc ce que j'ai fait :

Soit un tel morphisme ; on vérifie facilement, à partir de la définition d'un morphisme de groupes, que pour tout , , donc on en déduit (la réciproque est immédiate) que ces morphismes sont les , avec .

D'ailleurs, on peut vérifier que ces morphismes sont distincts, puisque ; or, en considérant le cas , on remarque que , c'est-à-dire dans .

Y a-t-il une erreur dans ce que j'ai écrit ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitebe0cd90e]

Effectivement, tu as Phi(p)=pPhi(1) meme si il faut faire gaffe (le premier p vit dans Z/aZ, le second vit dans Z). En fait, il serait plus correct de formuler cette condition par "un morphisme de Z/aZ dans Z/bZ est entierement determinée par l'image de 1". ceci est evident parce que Z/aZ est cyclique engendré par 1.

Partant de la, effectivement les morphismes vont etre de cette forme, mais toute application de cette forme ne definit pas necessairement un morphisme ! La ou il faut faire gaffe, c'est que 1 est d'ordre a dans Z/aZ, donc son image doit etre d'ordre un diviseur de a. Par ailleurs, l'ordre de son image est un diviseur de b par le theoreme de Lagrange, donc tu ne peux pas choisir n'importe quelle image. Par exemple, tu n'as pas de morphisme de groupe non trivial de Z/2Z dans Z/3Z.

[Seirios]

La ou il faut faire gaffe, c'est que 1 est d'ordre a dans Z/aZ, donc son image doit etre d'ordre un diviseur de a.

Effectivement, cela montre bien que ce que j'ai écrit est faux (alors que j'ai écrit que la réciproque était immédiate ). Donc il doit y avoir une erreur dans les égalités suivantes : , mais je ne vois pas où...(j'avais pensé à un problème de classe d'équivalence dans l'écriture de , mais comme on se place explicitement dans , il me semble qu'il ne doit pas y avoir de problème)

[God's Breath]

, avec .

Comment définis-tu le produit d'un élément de et d'un élément de ?

Tout ton calcul est basé sur des propriétés de cette pseudo-multiplication, dont tu penses qu'elles sont vraies, mais que tu n'as en fait pas démontrées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Comment définis-tu le produit d'un élément de et d'un élément de ?

Tout ton calcul est basé sur des propriétés de cette pseudo-multiplication, dont tu penses qu'elles sont vraies, mais que tu n'as en fait pas démontrées.

En effet, j'ai tout simplement écrit n'importe quoi...Je reprends :

Soit un morphisme de groupes entre et . Comme est cyclique avec comme générateur, on a pour tout , (on a bien ).

On pose donc l'application . Cependant, elle n'est pas définie pour tout (étant donné que l'espace d'arrivé est , on peut considérer que ) ; si est bien définie, alors cette fois-ci il est immédiat que c'est un morphisme de groupes.

Or est bien définie ssi pour tout tel que , , c'est-à-dire ssi a est un multiple de l'ordre de k dans . Comme , cela revient à b divise , c'est-à-dire multiple de . Or est un sous-groupe de , donc k divise b.

Ainsi, on en déduit que l'ensemble des morphismes cherché est l'ensemble des avec k multiple de (ce qui est en fait la réponse donnée par le corrigé ).

Merci pour votre aide