morphismes de corps

[Turgon]

Bonjour à tous.

N'ayant pas été initié à l'étude des morphismes de corps, mais connaissant la définition de par mon cours d'algèbre linéaire, j'aimerais avoir en tête au cas où, quelques morphismes/isomorphismes typiques, ce pourquoi j'aimerais si vous avez le temps que vous me donniez quelques morphismes connus (bon à part Id...):

-de C dans C
-de R dans R
-de R dans C
-de C dans R
-Autre...

Bon quand je dis corps R ou C j'évoque les "corps canoniques" des réels et des complexes mais si d'autre structuration de ces ensembles sont couramment utilisées en temps que corps, n'hésitez pas ^^, hop! Un ptit morphisme vite fait en passant!

Merci d'avance.
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[God's Breath]

de C dans C

ll n'y a que deux morphismes de corps : l'identité et la conjugaison.

de R dans R

Un unique morphisme de corps : l'identité.

de C dans R

Aucun morphisme de corps.

[Médiat]

God's Breath : une application qui permutent des éléments d'une base de transcendance de IR sur Q et prolongée adéquatement, est bien un morphisme de IR, non ? Et on peut faire la même chose dans C, il me semble.

L'application de IR dans {0, 1} qui a 0 fait correspondre 0 et à tout le reste fait correspondre 1, est aussi un morphisme(mais pas iso).

[invite9deac964]

l'application module est un morphisme de C dans R (il me semble je viens juste de découvrir cette notion )

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

God's Breath : une application qui permutent des éléments d'une base de transcendance de IR sur Q et prolongée adéquatement, est bien un morphisme de IR, non ? Et on peut faire la même chose dans C, il me semble.

Ce sera peut-être un morphisme de groupe additif, ou de groupe multiplicatif, ou de Q-espace vectoriel, mais pas un morphisme de corps.
Si f est un morphisme de corps de R dans R, pour x>0, l'existence d'une racine carrée y de x dans R, permet d'obtenir f(x)=f(y²)=f(y)²>0. On en déduit qu'un morphisme de corps de R dans lui-même est croissant, c'est l'identité.

Par contre, on doit effectivement pouvoir fabriquer des morphismes de corps discontinus de C dans C.

L'application de IR dans {0, 1} qui a 0 fait correspondre 0 et à tout le reste fait correspondre 1, est aussi un morphisme(mais pas iso).

Ce n'est pas un morphisme de corps, on a f(1)=f(2)=1, donc f(1+1)=f(1)+f(1) est faux.

l'application module est un morphisme de C dans R (il me semble je viens juste de découvrir cette notion )

Le module ne satisfait pas la propriété |z+z'|=|z|+|z'| pour tout z et tout z' dans C. Ce n'est pas un morphisme de corps.

[Médiat]

Ce sera peut-être un morphisme de groupe additif, ou de groupe multiplicatif, ou de Q-espace vectoriel, mais pas un morphisme de corps.
Si f est un morphisme de corps de R dans R, pour x>0, l'existence d'une racine carrée y de x dans R, permet d'obtenir f(x)=f(y²)=f(y)²>0. On en déduit qu'un morphisme de corps de R dans lui-même est croissant, c'est l'identité.

Ok, avec ça, et pourtant je ne comprends pas pourquoi la permutation de deux éléments d'une base de transcendance ne marche pas

Par contre, on doit effectivement pouvoir fabriquer des morphismes de corps discontinus de C dans C.

Ca je suis sur

[Turgon]

Merci de la vitesse de vos réponses.

C'est assez drôle qu'il y en ai si peu par les corps connus (comparativement au morphismes d'e-v: les seuls que je connais ^^).

Je trouve ça très intéressant, n'hésitez pas à continuer et si vous avez des exemples connus, inutile de vous restreindre à R ou C, je veux juste les morphismes isomorphismes de corps les plus connus...

[God's Breath]

je ne comprends pas pourquoi la permutation de deux éléments d'une base de transcendance ne marche pas

La structure d'ordre du corps des nombres réels est une contrainte très forte, tellement forte qu'un morphisme de corps est nécessairement un morphisme pour la structure d'ordre.
Et la structure d'ordre est difficile de lire sur une base de transcendance ; en tout cas, n'est pas conservée par l'échange de deux termes d'une base de transcendance.
Je n'aide pas à comprendre le phénomène, je me contente de le constater :
si on échange x et y, alors x-y et f(x-y)=y-x sont de signes contraires, ce qui contredit, quelque part, l'égalité f(t²) = f(t)².

[invitebe0cd90e]

C'est assez drôle qu'il y en ai si peu par les corps connus (comparativement au morphismes d'e-v: les seuls que je connais ^^).

En fait etre un corps est quelque chose de tres fort, c'est donc normal qu'il y en ai peu. Un morphisme de corps est forcement l'identité sur son sous corps premier, un morphisme de corps est forcement injectif, donc il n'y a pas de notion de quotient de corps, tu ne peux jamais aller d'un gros corps vers un plus petit, etc..

En revanche, les espaces vectoriels sont tous ce qu'on appelle des structures "libres", en ce sens que tout application ensembliste d'une base d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F s'etend (de facon unique) en un morphisme de E dans F. AUtrement dit, tu peux choisir librement et n'importe comment les images d'une base, et bim tu as une application linéaire qui vient avec. EN particulier, si tu prends au pif deux espaces vectoriels sur un meme corps, alors il existe toujours des tonnes de morphismes de l'un dans l'autre et de l'autre dans l'un.

[invite986312212]

Merci de la vitesse de vos réponses.

C'est assez drôle qu'il y en ai si peu par les corps connus (comparativement au morphismes d'e-v: les seuls que je connais ^^).

Je trouve ça très intéressant, n'hésitez pas à continuer et si vous avez des exemples connus, inutile de vous restreindre à R ou C, je veux juste les morphismes isomorphismes de corps les plus connus...

il s'avère que la structure de corps est tellement contrainte qu'il n'y a pas tant de "corps connus" que cela.

Si tu vois un jour les corps finis, tu verras qu'il y en a beaucoup moins que des groupes finis (enfin je me comprends, les deux ensembles (en sont-ce?) sont infinis) : il n'y a un corps de cardinal n que si n est une puissance d'un nombre premier, et dans ce cas le corps est unique, alors qu'il y a des groupes de tous ordres et que pour un cardinal donné il peut y avoir beaucoup de groupes non isomorphes.

à part les corps finis, les corps classiques sont les extensions finies de Q, c'est-à-dire les corps obtenus en adjoignant à Q les racines d'un polynôme de Q[X], sur le modèle de la construction de C à partir de R et du polynôme x^2+1. Là il y a plus de variété, par exemple les corps quadratiques, obtenus à partir des polynômes X^2+d ont des propriétés différentes selon les propriétés arithmétiques de l'entier d.

[Turgon]

Je vois, c'est donc moins commun un morphisme de corps qu'un morphisme d'ev ^^.

J'imagine donc que les morphismes sont beaucoup moins utilisés dans les théories traitants des corps que dans les théories traitants d'ev.

Est-il pertinent néanmoins de se poser la question des morphismes existant entre deux corps quelconques (conditions d'existence) et des morphismes d'un corps quelconque dans lui-même (genre endomorphisme version corps) ou cela est-il sans intêret/peu fécond?

[invitebe0cd90e]

J
J'imagine donc que les morphismes sont beaucoup moins utilisés dans les théories traitants des corps que dans les théories traitants d'ev.

Tu imagines mal Le fait qu'il y en ai peu leur donne plus de valeurs en un sens. Par exemple la théorie de Galois repose sur l'etude des automorphismes d'un corps L qui sont l'identité sur un sous corps K.

Est-il pertinent néanmoins de se poser la question des morphismes existant entre deux corps quelconques (conditions d'existence) et des morphismes d'un corps quelconque dans lui-même (genre endomorphisme version corps) ou cela est-il sans intêret/peu fécond?

Non, ca a evidemment un interet de se poser la question l'abence de morphisme est une information utile au meme titre que l'abondance de morphisme !

Mais comme je te disais, un morphisme de corps est toujours injectif, alors dire qu'il y un morphisme de K vers L revient essentiellement a dire que K est inclus dans L. Donc ce qu'on etudie c'est plutot des inclusions de corps, et inversement les facons de "grossir" un corps (c'est ce qu'on appelle des extensions de corps).

EN conclusion, s'il y a des morphismes entre deux corps c'est qu'il y a "une bonne raison" pour ca, il est rare qu'on prenne deux corps au pif et qu'on se demande s'il y a des morphismes entre eux, et en general il n'y en a pas.

[invite4ef352d8]

"t pourtant je ne comprends pas pourquoi la permutation de deux éléments d'une base de transcendance ne marche pas">>> essentiellement parceque R est pas algébriquement clos.

quand tu as une base de transandence de R sur Q, tu sais juste que R est algébrique sur Q[(X_i)]

permuter des elements de Q[X_i] donne un endomorphisme de Q[X_i] mais il n'est pas forcement possible de l'etendre à R tout entier !

on s'en sort dans le cas d'un corps algébriquement clos grâce à l'unicité de la clôture algébrique : une base de transandance de C, fait apparaitre C comme la cloture algébrique de Q[(X_i)].

[Médiat]

essentiellement parceque R est pas algébriquement clos.

J'en étais arrivé là

permuter des elements de Q[X_i] donne un endomorphisme de Q[X_i] mais il n'est pas forcement possible de l'etendre à R tout entier !

Mais pas là : Merci, les choses me paraissent plus claires maintenant.

[invite58633955]

Mais pas là : Merci, les choses me paraissent plus claires maintenant.

C'est assez etonnant cette histoire si on y refelchit un peu, mais en fait ca vient du fait que l'on peut pas plonger dans R.

La proporiété utilisée ici, c'est que si on se donne un morphisme de k dansC, ou C est un corps algébriquement clos, alors on peut prolonger le morphisme a un morphisme de C dans C.
Et on fait ca en deux temps, d'abord on le prolonge a , et ca c'est l'axiome du choix (on ordonne les sous extensions qui admettent un plongement dans C prolongeant celui de k, on prend un element maximal, et si c'est pas tout entier, ben on prend un element x qui est dans la cloture algébrique et pas dans l'extension maximal, comme x est algébrique sur K, on prolonge le morphisme a l'extension composée).
Et ensuite, comme C est alg clos, on peut prendre le sous corps de C qui contient tous les elements algébriques sur k, et ca par unicité de la colture algébrique c'est isomorphe a et on compose les deux morphisme.
C'est precisement la seconde etape qui coince avec R, puisqu'il est impossible de retrouver dans R.

[invite58633955]

à part les corps finis, les corps classiques sont les extensions finies de Q, c'est-à-dire les corps obtenus en adjoignant à Q les racines d'un polynôme de Q[X], sur le modèle de la construction de C à partir de R et du polynôme x^2+1. Là il y a plus de variété, par exemple les corps quadratiques, obtenus à partir des polynômes X^2+d ont des propriétés différentes selon les propriétés arithmétiques de l'entier d.

Je completerai ceci en disant qu'il y a aussi tous les corps de fonctions (bon et les corps p-adiques aussi) qui sont tres importants en geometrie. (resp. en arithmétique).
Ce sont les extensions finies d'un k(t_1,...,t_n).

[taladris]

Salut,

il y en a beaucoup moins que des groupes finis (enfin je me comprends, les deux ensembles (en sont-ce?) sont infinis)

réponse un peu triviale: puisque tous les singletons peuvent être munis d'une structure de groupe et que la classe des singletons n'est pas un ensemble (du moins dans mes souvenirs), la classe des groupes finis n'est pas un ensemble.

La question pertinente (celle que tu posais je pense) est: est-ce que la classe des classes d'isomorphie de groupes finis est un ensemble? Là, je n'ai pas trop d'idée.

Cordialement

[Médiat]

En tout état de cause la théorie des groupes finis n'est pas une théorie du premier ordre (celle où on a un joli théorème de complétude).

[invitebe0cd90e]

La question pertinente (celle que tu posais je pense) est: est-ce que la classe des classes d'isomorphie de groupes finis est un ensemble?

C'est facile de voir que pour n donné il existe un nombre fini de groupes de cardinal n a iso pres. Tu as une borne extremement grossiere (mais suffisante pour la finitude) : une structure de groupe est determiné par sa table de multiplication, cad un tableau de n par n cases remplies avec des elements du groupes. Or il y a grilles possibles (dont l'ecrasante majorité ne donne pas une structure de groupes, mais ca prouve quand meme que c'est un nombre fini).

[invite986312212]

on doit pouvoir trouver une meilleure borne quand-même... déjà on peut factoriser par les n! permutations des n éléments.

en tout cas la suite des nombres de groupes d'ordre n a l'air erratique, il y a ici les 200 premiers termes : http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/00/numgrps

[invitec7c23c92]

La question pertinente (celle que tu posais je pense) est: est-ce que la classe des classes d'isomorphie de groupes finis est un ensemble? Là, je n'ai pas trop d'idée.

Bonjour,
Les tables de multiplications de lois quelconques (pas forcément de groupes) sur un ensemble {1..n}, n entier quelconque, forment un ensemble.

Les classes d'isomorphisme de groupes finis s'identifient à une partie de cet ensemble, et constituent donc bien un ensemble.

(edit : raté une page )

[invitebe0cd90e]

on doit pouvoir trouver une meilleure borne quand-même...

Evidemment, j'ai bien precisé borne grossière qui me permet de prouver que ce nombre est fini. Evidemment rien qu'en sachant qu'un element du groupe n'apparait qu'une fois dans chaque ligne et dans chaque colonne, que la premiere colonne et la premiere ligne sont identiques, etc... on peut réduire tout ca.

[taladris]

C'est facile de voir que pour n donné il existe un nombre fini de groupes de cardinal n a iso pres. Tu as une borne extremement grossiere (mais suffisante pour la finitude) : une structure de groupe est determiné par sa table de multiplication, cad un tableau de n par n cases remplies avec des elements du groupes. Or il y a grilles possibles (dont l'ecrasante majorité ne donne pas une structure de groupes, mais ca prouve quand meme que c'est un nombre fini).

Arf... effectivement

[Turgon]

Bonjour a tous et encore merci des réponses apportées à l'époque, qui m'ont été utiles.

Par contre, on doit effectivement pouvoir fabriquer des morphismes de corps discontinus de C dans C.

J'aimerais juste savoir comment se construit un tel morphisme (quel est-il?). Merci d'avance ^^!

[invitebe0cd90e]

A ma connaissance c'est extremement difficile d'en construire. Rappelles toi que tout automorphisme de C preserve Q. Donc si tu en prends un continu, puisque Q est dense dans R il va preserver R (ce qui nous ramene a une condition plus algebrique). Or, comme dit plus haut, le seul automorphisme non trivial qui preserve R est la conjugaison complexe.

Donc la vraie question est: y a t'il d'autres automorphismes de C ? Et la reponse est : oui, enormement. Le groupe des automorphismes de C est de cardinal non dénombrable. Mais en trouver un exemple c'est une autre paire de manche.

Parmi les rares exemples, non explicites tout de meme, on peut prouver assez simplement que tous les corps des complexes p-adiques doivent etre, en tant que corps, isomorphes à C.

[Turgon]

Ah oui, non dénombrable! Carrément ! Quand on pense que est une extension simple de qui lui n'a qu'un seul automorphisme, c'est quand même très impressionnant.

Merci pour ta réponse, c'est vraiment édifiant comme état de fait ^^.

Bon je vais quand même essayer d'en construire pour me donner une idée.

[Médiat]

Bonjour,

Un exemple là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1509700.

Cet exemple utilise l'axiome du choix.

[Turgon]

Merci pour l'exemple qui est très intéressant (parce que sans doute cette méthode est utilisable sur une bonne partie des nombre irrationnels ce qui fais bien voir que l'on peut construire une infinité non dénombrable d'automorphismes de C).

En particulier on apprend qu'un automorphisme inégal à l'identité ou la conjugaison n'est nulle part continu, ce qui donne peut de chance d'en trouver une expression analytique comme je me proposais de le faire.

Et j'imagine, même si je ne connais pas cette notions, que le fait de ne pas être "Lebesgue-mesurable" pose pas mal de problèmes aussi.