Exo Morphismes

[invited9092432]

Bonjour,

je bloque sur un exo où je ne sais vraiment pas comment commencer.

Si quelqu'un pouvait me donner une petite piste de réflexion:


Déterminer l'ensemble des morphismes de (Z,+) dans (Q,+).


Merci,

cordialement,
Chr57.
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[invite14e03d2a]

Pour commencer, tu peux trouver une relation entre f(n), n entier, et f(1). ça devrait t'aider.

[invited9092432]

Bon, alors:

soit f un morphisme de (Z,+) dans (Q,+).

En calculant les premières valeurs, on trouve que f(n)=n.f(1).

On démontre cette relation, par récurrence sur N:
-> f(0)=2.f(0) donc f(0)=0: OK.
-> hérédité (assez directe): OK.

Ensuite, je pense qu'il s'agit d'étendre cette égalité aux entiers relatifs.
Alors, il s'agit de calculer f(-n) avec n dans N:

je pars de f(2n-n):

f(2n-n)= f(n)= f(2n)+f(-n)
soit f(-n)= f(n)-f(2n)= n.f(1)-2n.f(1)= (-n).f(1): OK.

Bon, par contre, maintenant, j'vois plus quoi faire...

[inviteaeeb6d8b]

Et bien tu as déjà prouvé quelque chose de pas mal

Soit un morphisme de (Z,+) dans (Q,+) alors pour tout ,
Si tu poses , ça s'écrit :


Pas si mal

[A voir en vidéo sur Futura]