Majorer une fonction C0 par une fonction C1

[silk78]

Bonjour,

Je me suis récemment posé une question dont je ne trouve malheureusement pas la réponse.

Soit f une fonction C⁰ sur un intervalle I inclus dans R et à valeurs réelles. Existe-t-il une fonction g qui soit C¹ sur I et telle que pour tout x de I, |f(x)|<=|g(x)| ?


Si I est un segment alors la question est triviale vu que f est alors bornée, mais si I est un intervalle quelconque, ça se corse.

Quelqu'un a-t-il un contre-exemple ou une idée de démonstration, si celle-ci est accessible à un niveau L2 ? Une telle démonstration se ferait-elle obligatoirement par construction de g ?

Merci d'avance pour vos réponses,
Silk
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[invite4ef352d8]

Salut !

en convoluant ta fonction par une fonction C_infini à support compact bien choisit tu dois pouvoir construire une approximation uniforme C_infini de ta fonction. il suffit ensuite de prendre l'approximation et d'y ajouter une constante assez grande pour obtenir le résultat voulue.


(enfin, faut faire tout ca avec |f| puisque tu veux une majoration en | |... )

[silk78]

Je n'ai pas encore étudié les convolutions donc pour le moment ça ne ma parle pas trop, mais je vais regarder ça.

En tout cas, merci pour ta réponse.

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Je travaillais sur le meme exo lol ... Mais , Ksilver je n'ai pas trop saisis ce que vous avez dit. Pouvez vous développer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Ba mon idée c'était d'utiliser le fait qu'on peut approximer uniformément une fonction continu par une fonction C1 (Cinfinit même). une fois qu'on sais cela c'est assez simple n approxime à 1 près la fonction f par une fonction G C1, la fonction g+1 va alors majorer f (enfin en tant que fonction, faut appliquer à |f| pour avoir une majoration en |. |)


le fait que les fonction continu sont aproximable uniformément sur R par des fonction C1 n'est pas vraiment un résultat classique, pour le montrer j'ai recours à la technique de la convolution par une aproximation régulière de l'unité... maintenant si tu n'as jammais entendu parler de cela c'est peut-etre un peu compliqué... je n'ai pas trouvé de référence internet qui expliquait ca clairement. y a t'il un cours en rapport avec cette exo ? de quoi parle t'il ? qu'on sache un peu qu'elle sont les outils qu'on est sensé utiliser...

[yootenhaiem]

Rebonsoir,
C'est un exo en MPSI(Vous l'auriez surement traite aussi , J'ai vu votre profil , Impressionnant ), concernant les fonctions reelles et la continuite ..
Pour ma part voila la fonction que j'ai exhibe mais c'est tres delicat, du coup je n'en suis pas si sur :
Soit l'ensemble T , formé d'intervalles fermés }a_k, b_k{ tq cet intervalle est un voisinage de tout point ou segment où f est non continue..
Pour toute fonction f C⁰ on considere la fonction :

g(x) = l f(x)l si x E pas a T
si x E T avec a' suffisament grand et b' suffisamment petit :
g(x)= a'x+ f(a_k) sur }a_k, c{
g(x)= b'x + g(c) avec g(b_k)= f(b_k) sur }c,b_k{

Voila, qu'est ce que vous en pensez ?

[Médiat]

Bonjour,

Quelque chose doit m'échapper, mais il me semble que la fonction définie de la façon suivante doit coller :

On pose .

Sur l'intervalle [2n+1, 2n+3] on définit la fonction g de la façon suivante :
Si on pose
n'importe quelle fonction (ou même ), telle que (ou toutes les dérivées), par exemple une fonction polynomiale de degré 3 (ou une fonction à base d'exponentielle)

Si on fait la même chose dans l'autre sens

[silk78]

Effectivement Médiat, je pense que cette fonction vérifie bien toutes les hypothèses, et en plus a la bonne idée de se construire relativement simplement, bien joué et merci

Personnellement j'étais parti comme Ksilver, en plein dans les cours de convergence uniforme, je m'étais dit que si je trouvais une suite de fonction C¹ qui convergeait uniformément vers f, on construisait facilement g. Mais je ne voyais pas du tout comment construire cette suite (ce qui visiblement dépassait mes compétences, vu la méthode proposée par Ksilver).

En tous cas merci pour vos réponses.

donkishot : pour ta méthode, je me trompe peut-être mais la dérivée de g ne me semble pas continue en c (a' à gauche, b' à droite). De plus, le fait de ne travailler que sur des intervalles T ainsi définis posent peut-être des problèmes lorsque ta fonction f est C⁰ mais nul part dérivable (ça je demande confirmation à plus expérimenté que moi).

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Je pense que ma fonction est continue sur tout point de IR, mais elle n'est pas C¹.. Car chez moi on ne cherchait pas une fonction dérivable et continue mais la condition de la continuité était suffisante .

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Pour la fonction de Mr. Mediat j'ai trouve un petit probleme concernant votre fonction: Et si la fonction f qu'on veut majorer n'etait pas derivable en 2n+2 , on ne pourra pas considerer une fonction qui serait C1 dans ce cas la (en particulier en 2n+2) ... Je me trompe peut etre mais j'ai ressayer cela plusieurs fois

[silk78]

Si tu fais référence au f'(2n+2)=f'(2n+3)=0, si j'ai bien compris la construction de Médiat, ce f n'a aucun rapport avec la fonction C⁰ de départ mais est juste une fonction "intermédiaire" entre deux intervalles sur lesquels notre fonction g est constante, et c'est pour assurer la continuité de g' qu'il choisit une fonction avec une dérivée nulle aux deux extrémités.

[yootenhaiem]

Et si la fonction f qu'on veut majorer n'etait pas derivable en 2n+2 ,

Mon ami je parle de la fct que vous vouliez majorer ..

[yootenhaiem]

En d'autre mots, celle de depart .

[silk78]

Je ne crois pas que Médiat demande à la fonction de départ d'être dérivable dans sa construction, en tout cas je ne vois pas où (le f'(2n+2) faisant référence à une autre fonction que celle départ, cf mon dernier post). A quel point faisait tu allusion ?

[Médiat]

Si tu fais référence au f'(2n+2)=f'(2n+3)=0, si j'ai bien compris la construction de Médiat, ce f n'a aucun rapport avec la fonction C⁰ de départ mais est juste une fonction "intermédiaire" entre deux intervalles sur lesquels notre fonction g est constante, et c'est pour assurer la continuité de g' qu'il choisit une fonction avec une dérivée nulle aux deux extrémités.

Absolument, mes notations sont incohérentes j'aurais dû l'appeler h, par exemple.

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Je repete encore une fois que j'avais compris que Mr. Mediat parlait d'une autre fonction bon sang
Bon voici un petit exemple de fonction qui est C⁰ et qui ne verifie pas les proprietes de mr. Mediat

f (x) = racine( x- (2n+2))+b si x E {2n+2, l'inf{
f(x) = b sinon

[Médiat]

Déjà votre fonction n'est pas définie de façon très cohérente :

par exemple si x = 17, est-ce que je dois considérer que et donc que , ou que et donc que ?

[yootenhaiem]

Bonjour,
NON, ce n'est pas cela.. Imaginez que la fonction qu'on doit majorer est non dérivable en 2n+2 avec le M(n)=f(2n+2), plus précisément elle admet une tangente verticale vers le haut en 2n+2 a gauche .. Voila le cas qui me préoccupe ^^

[Médiat]

Je ne vois pas le problème

[yootenhaiem]

hmm ... Vous voulez dire quoi par dans l'autre sens? c'est a dire si M(n)<=M(n+1)

[Médiat]

Oui, c'est bien cela.

Vous devriez faire un dessin dans le cas que j'ai développé et "l'autre sens" vous sautera aux yeux

[invite7863222222222]

n'importe quelle fonction (ou même ), telle que (ou toutes les dérivées), par exemple une fonction polynomiale de degré 3 (ou une fonction à base d'exponentielle)

Mais on ne sait pas si cette fonction est la même quelque soit le n, peut on les mettre en évidence concrètement ? je suis out si je dis qu'une autre solution c'est de supposer l'axiome de l'infini pour démontrer le résultat directement en supposant l'existence d'un ensemble infini de telles fonctions ?

[invite7863222222222]

Je retire ma remarque précédente car elle est mal formulée et pas pertinente. A la vue de la question posée, parler de l'axiome du choix est un peu tiré par les cheveux et hors sujet.

[invite986312212]

Bonjour,

Quelque chose doit m'échapper, mais il me semble que la fonction définie de la façon suivante doit coller :

On pose .

si f est définie sur un intervalle ouvert, elle peut ne pas être bornée. Rien ne dit que f est définie et continue sur l'intervalle fermé [2n,2(n+1)].

[Médiat]

Exact ! J'étais parti sur l'idée que la fonction était définie sur IR.

Mais ce n'est pas grave, une petite transformation transportera une borne ouverte vers plus ou moins l'infini selon le cas.

[yootenhaiem]

Bonsoir,

C'est justement ca, c'est en faisant un schema que j'ai trouve un petit blem au niveau de cette exemple que je vous ai donne ... Mais je me trompe peut etre^^