Sujet de CAPES

[invite66d75f15]

Bonjour!
J'ai un sujet de CAPES à faire, et je vous avoue que j'ai un peu de mal....
Je demande pas les réponses, juste un peu d'aide pour avancer. Je vous ai mis le sujet en pièce jointe, je dois avoir fait jusqu'à la question A1 au moins pour lundi, et je bloque à la question 2 :'(

voilà ce que j'ai fait:

1)
En utilisant le DL en 0 de exponentielle à l'ordre 2. Sauf que je dois rédiger ça correctement et j'aime pas trop la dernière égalité (j'ai jamais aimé les o(x), un coup ils sont là et c'est très important de les mettre, et puis juste après ils sont négligeables on peut les oublier....), comment je justifie proprement que o(u), on s'en fout?
Donc, avec ça, j'ai que est continue sur R.

Pour montrer qu'elle est dérivable, je veux montrer que existe
J'ai donc voulu calculer , mais ça me donne...pas grand chose. Je vous met quand même mon calcul, pour les plus courageux d'entre vous:



Donc j'arrive pas à montrer que c'est dérivable....mon prof m'a bien dit d'utiliser le DL mais ça m'avance pas trop (surtout que je sais pas quoi faire des o ). N'ayant pas montré que c'était dérivable, je peux difficilement montrer que la dérivée est continue....

J'ai pas fait la représentation graphique (de toute façon je saurais pas vous la remettre ici^^) mais ça doit pas être bien compliqué...


2)J'ai commencé par calculé . D'ailleurs, je suis en train de me dire que si j'ai réussi à calculer la dériver je devrais quand même pouvoir montrer qu'elle est continue...je vais revoir ça. En attendant, je vous met ce que j'ai, parce que le résultat me semble douteux (trop simple pour être vrai, à mon avis^^)


Pour calculer sa valeur en 0, eh bien...j'ai juste pris la limite en 0.


Avec cette valeur suspecte, j'ai donc:

Et là, je dois montrer que c'est pair, donc que
Bon, là, je vous épargne les calculs que j'ai fait. J'ai essayé de simplifier l'expression, donc j'ai trouvé:


Et puis j'ai calculé dans l'espoir de trouver 0. j'ai essayé en utilisant ch et sh (vu que du coup j'ai du eû+e^{-u} ) mais j'arrive à rien (ou plutôt, j'arrive à pleins de trucs différents, mais pas 0 )

Merci d'avance pour votre aide, jusqu'ici déjà (je dois avouer que vu comme je bloque j'ai pas été chercher la suite) et plus loin si vous avez le courage^^
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[invitef3414c56]

Bonsoir,

Pour la question 1), considérez la fonction g(x)=(\exp(x)-1)/x pour x non nul, et g(0)=1. Cette fonction est indéfiniment dérivable (par exemple parce c'est la somme de la série entière de terme général x^{n-1}/n! pour n>= 1, qui a un rayon de convergence infini). D'autre part, il est facile de voir qu'elle ne s'annule pas. Donc sa fonction inverse f(x)=x/(\exp(x)-1), est bien définie et indéfiniment dérivable.

Cordialement.

[invite14e03d2a]

1)

La fonction exp est dérivable en 0 donc la limite de en 0 est... donc...

[invite14e03d2a]

Aucun besoin de DL donc. Cependant, "on s'en fout du o(u)" car, pour u différent de 0, et a 0 pour limite en 0.

Au passage, écrire des égalités entre limites sans savoir a priori que cette limite existe est un crime.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66d75f15]

J'ai pensé à un truc....Pour dire qu'elle est dérivable, il me suffit de dire qu'elle est composée de fonctions dérivables, non?
J'espère, parce que j'ai pas compris ce que vous avez dit^^

il est facile de voir qu'elle ne s'annule pas

Pour moi, exp(0)-1, ça fait 0, donc elle s'annule. Sinon en effet il n'y aurait aucun problème.

La fonction exp est dérivable en 0 donc la limite de en 0 est... donc...

Pas compris. quel rapport entre le fait que exp soit dérivable en 0 et la limite de ?? D'autre part, cette limite reste une forme indéterminée: ça fait 0/0...

écrire des égalités entre limites sans savoir a priori que cette limite existe est un crime.

Est-ce qu'il ne me suffit pas de dire que est continue sur R-{0}, donc prolongeable par continuité en 0? Et donc je peux calculer la limite?
Sinon, comment savoir qu'une limite existe sans la calculer?

[invitef3414c56]

Bonjour,
L'argument que vous donnez marche, mais pas en x=0. Il vous faut donc faire une étude particulière en 0, démontrer qu'elle est dérivable, puis ensuite que la fonction dérivée est continue.

La fonction g(x)=(\exp(x)-1)/x pour x non nul et telle que g(0)=1 ne s'annule pas: si x=0 parce quelle vaut 1, et si x est non nul, car alors \exp(x)-1 est non nul. Comme il est facile de voir qu'elle est indéfiniment dérivable,(voir l'argument donné), son inverse, qui est votre fonction phi_0, est également indéfiniment dérivable, ce qui répond à votre question sans calcul.

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

quel rapport entre le fait que exp soit dérivable en 0 et la limite de ??

Applique la définition de "f dérivable en a" à f=exp et a=0.

Cordialement.

NB : "écrire des égalités entre limites sans savoir a priori que cette limite existe est un crime." C'est un leitmotiv des profs de prépa actuels. En fait, il existe des cas de "calculs" qui ne donnent une "limite" que justement parce que la limite n'existe pas. cependant, pour des transformations élémentaires (réécriture de la fonction), pas de problème. Idem pour des équivalents simples.

[invite66d75f15]

Ah, ok!!
C'est parce que j'ai toujours tendance à prendre la définition de "f dérivable" au lieu de "f dérivable en un point a". Effectivement, vu comme ça, c'est plus simple!
Merci

[invite66d75f15]

Bon, je suis pas encore rendue....
maintenant, il me faut la valeur de la dérivée de phi en 0. J'ai beau tourner mes calculs dans tous les sens, je trouve toujours 0 (oui, je sais, j'avais trouvé 1/2 avant, mais j'avais fait une erreur de calcul). Or, vu que la valeur sert dans la fonction psi, je doute que ça fasse 0.
J'ai (encore) utilisé le DL de exp (en même temps c'est la seule aide que m'ait donnée le prof alors si je l'utilise pas il risque de se vexer^^)

[invitef3414c56]

Je fais encore une tentative pour que vous considériez ce que je vous ai dit. La fonction f(x)=(\exp(x)-1)/x pour x non nul, f(0)=1, est développable en série entière convergente sur tout \R, qui est f(x)=1+x/2+... Par suite la dérivée de f en x=0 est 1/2. Comme votre fonction \phi_0 est égale à 1/f, la dérivée de \phi_0 est -f'/f^2. Donc la dérivée de Phi_0 en 0 est -f'(0)/f(0)^2=-1/2.

Cordialement.

[invite66d75f15]

ça, j'avais compris. J'ai essayé aussi en considérant la fonction inverse, mais je trouve pas 1/2 comme dérivée en 0.

Après vérification, je trouve pas non plus la même série entière...
La vôtre est: , or pour moi

Personnellement, j'ai donc: ce qui ne me donne pas grand chose.

Je dis pas que j'ai forcément bon (d'autant que moi et les séries entières, ça fait deux. En fait, l'analyse en général...) mais juste que je comprends pas pourquoi j'ai faux.

[invitef3414c56]

C'est parce que vous démarrez la sommation a n=0; il faut la démarrer à 1: On a \exp(x)=1+x+x^2/2+...+x^n/n!+...
donc \exp(x)-1=x+x^2/2+...+x^n/n!+...; il suffit alors de diviser par x.

[invite66d75f15]

j'avais aussi regardé si ce n'était pas juste dû à ce problème d'indice. Mais curieusement, quand moi je l'avais fait, ça n'avait pas marché -_-
Bon, ça marche maintenant, merci! ça devrait m'avancer pas mal (enfin j'espère^^)

[invite14e03d2a]

est continue sur R-{0}, donc prolongeable par continuité en 0

O_o ?

est continue sur R-{0}, mais n'est pas prolongeable par continuite en 0.

[invite66d75f15]

Mes premiers partiels étant finis, j'ai eu le temps de me remettre (un peu) au sujet. À priori notre soutenance serait au plus tard le 29 mai, sachant que nos derniers exams sont du 13 au 26, ce qui ne laisse pas beaucoup de temps pour ce sujet de CAPES. Le mieux serait qu'on l'ait fini le 13 pour pouvoir s'occuper entièrement de nos exams après, mais bon faut pas rêver.

Enfin bref. J'ai fini la première partie. Pour la question A1, j'ai fait ça:
Comme Sp(n) est une somme de Riemann et p>1, elle converge, donc sa limite existe.
On considère la fonction f : x-> avec p>1 fixé.
f est décroissante et continue sur [1, ] donc, d'après le théorème de comparaison séries-intégrales, on a:


Or

et p>1 donc 1-p<0

D'où

De plus, et
Donc

On en déduit que

Mathématiquement, ça m'a l'air bon, mais au niveau de la rédaction, j'aime pas cette ligne là : et j'ai pas pour autant envie d'écrire 4 lignes juste pour ça...


Ensuite, j'ai comme qui dirait zappé la question A2. Les séries entières et rayons de convergence, j'ai toujours eu du mal, et manque de bol j'ai pas mon livre avec moi (j'avais trouvé un bouquin très clair à ce sujet à la BU, mais bon au bout d'un moment il fallait bien le rendre...)
Cependant, j'ai noté un truc la dernière fois que j'ai travaillé dessus (ce qui commence à dater un peu) et je me demandait si c'était bon:

"D'après le critère des séries alternées, si Up (le terme général de la série, donc ici est monotone et converge vers 0, alors (où R est le reste de la série entière) "

Accessoirement, même si c'est bon, je ne vois pas ce que ça peut m'apporter.


J'ai réussi à démontrer l'équation de la question B1 sans trop de difficulté en repassant aux exponentielles, mais j'ai un problème pour le polynôme Rp. Voici ce que j'ai fait:
Soit . On cherche a_q tel que
Or
Avec ça, je montre que
Mon problème, c'est que au départ je définis Rp comme un polynôme d'ordre p, or rien ne me le dit. D'ailleurs, je préférerais considérablement (pour la question suivante) qu'il soit d'ordre 2p+1, mais je ne sais pas comment le montrer. Et si j'arrive à le montrer, ce que j'ai fait ci-dessus ne fonctionnera plus.

Bref, j'ai fait aussi la question B2, mais en considérant que Rp est d'ordre 2p+1 donc j'ai vraiment besoin de ça pour avancer. Si quelqu'un pouvait me donner une indication (et éventuellement des remarques sur la rédaction si vous trouvez que quelque chose ne va pas)...
Merci!

[invite66d75f15]

Je me permet de remonter le sujet parce que je bloque encore et toujours. J'ai corrigé le problème de l'ordre de Rp en remplaçant p par un n quelconque dans sa définition et en montrant que tous les termes au dessus de 2p+1 sont nuls.

En revanche, je bloque à présent sur la fin de la question B2, où il s'agit de calculer R'p/Rp

[invite66d75f15]

Bon, voilà ce que j'ai fait jusque là:

Dans la question, j'ai montré que les zéros de Rp sont tous simples et son les images dans [smb]C[/smb] du segment [-p;p] de [smb]Z[/smb] par l'application définie par: n [smb]fleche2[/smb]Zn;

Mon problème est pour la suite de la question: En déduire que


D'abord, j'ai dérivé Rp pour obtenir
J'en ait déduit que
comme le premier terme de la somme est nul je peux aussi la démarrer à 0.

En utilisant les zéros de Rp, je l'ai exprimé sous forme de produit et j'ai obtenu


Mais je n'arrive pas à retrouver l'expression demandée. Pourtant il me semble bien que je n'en suis pas loin...ce qui est d'autant plus déprimant ^^

merci d'avance pour votre aide