Surjectivité d'application ...

[invite588a9d8f]

Bonjour, je dois montrer un isomorphisme mais j'ai un petit problème pour montrer la surjectivité de ma fonction.
J'ai deux groupes, H et K, dont je suis que leur cardinal est premier entre eux.
Sachant cela, je dois montrer .
J'ai posé l'application de vers où j'envoie un couple de sur une fonction . Avec .

Bon j'ai montré que l'application était bien définie, que c'est un homomorphisme et qu'elle est injective. Mais mon problème vient pour la surjectivité. Mon idée était que si je me donne , alors pour , je pose restreinte à sa première composante et pour , restreinte à sa deuxième composante.
Mais disons que dans le cas où je cherche , mon idée était, en reprenant mes notations de ci-dessus, de prendre comme première composante disons un quelconque, et de fixer un certain . Mais on m'a dit que ce , ne pouvait être quelconque. Qu'il devait nécessairement s'agir de l'élément neutre de , à cause de l'ordre des éléments. Mais c'est là que je ne comprends pas ... . Je vois pas en quoi ça m'impose que .

Si quelqu'un pouvait m'aider '^^.

Merci
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[invite332de63a]

Bonjour, tu veux récupérer ta première composante dans ton application , on te propose de prendre l'élément neutre pour la seconde variable, ce qui te donne donc une application f' définie par on a donc presque f, il suffit de prendre la projection canonique de sur et de composer avec f' et tu obtiens f. De même avec g.

Pourquoi k=1... car sinon f' n'est pas un morphisme. Et en fin de compte ca marcherai quand même, même si l'on prenait k non nul au départ, mais seulement il faudrait redémontrer que l'on a bien un morphisme.

[invite588a9d8f]

Ouais c'est exactement ce que je comptais faire, mais le truc c'est que du coup, à aucun moment j'utilise que les cardinaux de H et de K sont premiers entre eux ... donc vu que c'est une hypothèse que je n'ai pas utilisé, je me dis que cette étape ne doit pas être correcte ... car un exo où on n'utilise pas une hypothèse c'est toujours un mauvais signe ...

[invite332de63a]

Tu ne t'en es pas servi pour l'injectivité?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite588a9d8f]

Pour l'injectivité ??? Non, je n'ai pas eu l'impression d'en avoir besoin ...

[invite332de63a]

Ecrit bien ici ce que tu as fait, et on verra si tu as fait une erreur ou pas.

[invite588a9d8f]

Et bien pour l'injectivitié de , j'ai que soit et tels que alors c'est équivalent à pour tout , et donc j'ai égalité composante par composante. Et puisque pour tout , j'ai que , et même chose pour , et donc mes couples sont égaux ... je vois pas quand j'aurai dû utiliser le fait que l'ordre des groupes soit premier ?