Types d'Equations différentielles

[invitea5ff5d4b]

Bonjour ayant un partiel d'analyse numérique la semaine prochaine j'aimerais avoir des précisions sur les équa diff:

Quelle est la différence entre une équation aux dérivées partielles linéaire, non linéaire et quasi linéaire, j'avoue que je suis perdu dans tout ces termes.

par exemple: (a,b,c)€R^3, u(x,y)€R: on considère l'équation aux dérivées partielles:

a*∂²u/∂x²+b*∂²u/∂x∂y+c∂²u/∂y²=0

Quel est le type de cet équation (linéaire, quasilineaire...)par rapport a u? aux dérivées de u? quel est son ordre?

Je vous remercie d'avance
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[invite86822278]

La, tu es lineaire en u (pas de prosuit de u par une de ses derivee), d'ordre 2 en x et 2 en y (nombre maximal de derivations successives).

[invitea5ff5d4b]

c'est pas quasi lineaire?

c'est quoi la définition de quasi linéaire?

[invite86822278]

D'après la définition donnée par un article trouvé sur le web, je dirais non. Mais quelle est ta définition pour quasi linéaire ?
a, b et c sont bien des constantes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Même si a, b, et c ne sont pas des constantes, l'équation reste linéaire en u, puisque l'ensemble des solutions est un espace vectoriel :
u solution et v solution => u+v solution
u solution => a * u solution, et ce pour tout a réél (ou complexe).
Quand c'est quasi linéaire, on perd l'une de ces deux propriétes.

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rvz

[invitea5ff5d4b]

ok d'accord merci!!! et donc quand c'est non linéaire aucune des 2 propriétés n'est vérifiée?

[invite6b1e2c2e]

Il se peut que l'une des 2 soir vérifiée. Par exemple, considère l'équation u' ^2=u^2,
exp(t) est solution.
exp(-t) est solution.
Mais u(t) = exp(t)+exp(-t) n'est pas solution.
En effet, u'(t)^2 = exp(2t)+ exp(-2t)-2,
u(t)^2 = exp(2t) +exp(-2t)+2
Cependant, l'ensemble des solutions est un cone : Si v est solution, alors a * v est solution, et ce, quel que soit a réél (ou complexe).

Il existe donc des cas où la première propriété est mise en défaut, même si la deuxième est vraie.

Je pense que l'on peut trouver des cas inverses où la propriété 1 est fausse, mais pas la propriété 2. Par exemple, on rajoute à l'équation u'=u la contrainte u>0. Ce n'est évidemment pas un espace vectoriel, mais la propriété 1 est vérifiée.

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rvz

[invitea5ff5d4b]

merci de ta reposne c cool