probabilité : tirage billes

[invitec2cbca97]

Bonjour,
j'espere ne pas me tromper de forum : j'ai un petit probleme pour une question d'un exercice :

un enfant possédé N billes de couleurs tous différentes (aucune ont la même couleur).
Les billes sont dans un sac.
il tire une bille, retient la couleur et la remet dans le sac.
il effectue cette opération jusqu’à ce qu'il obtienne une bille dont il a déjà retenu la couleur.(il continue tant qu'il obtient de nouvelles couleurs)
On note X le nombres de bille tiré.

quelle est la probabilité pour que X soit inférieur ou égal à ) ?

voila ce que j'ai tenté:
au lieu de prendre j'ai pris m un entier quelconque (d’ailleurs je vois pas l’intérêt de la racine ? )



donc je suis amené a calculer P(X=i) :
car il tire une première bille obtient une certaine couleur puis tire une seconde bille qui est en faite la meme (1 chance sur N)

etc


donc au final j'obtiens :


et je vois pas comment aller plus loin et la somme d'un produit c'est bizarre non?
du coup je vais peut etre essayé de pensé autrement( avec N variables alétoires?) mais je sais pas trop.
Comment seriez vous parti?

D'avance merci
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ta première ligne, qui me semble d'ailleurs fausse. Essaie de la traduire en langage courant, en remplaçant X par sa signification.
A noter X est au plus égal à N+1 (vois-tu pourquoi ? Si non, réétudie l'énoncé).

Cordialement.

[invitec2cbca97]

merci beaucoup pour votre réponse.

A noter X est au plus égal à N+1 (vois-tu pourquoi ? Si non, réétudie l'énoncé).

X est au plus egal à N+1 puisqu'on peux tirer les N billes(à chaque fois on en tire une nouvelle) et le (N+1)-ieme tirage est forcement une bille dont on a deja vu la couleur non?
donc m est compris entre 1 et N+1

Je ne comprends pas ta première ligne, qui me semble d'ailleurs fausse. Essaie de la traduire en langage courant, en remplaçant X par sa signification.

je suppose que la ligne en question est : ?

je cherche c'est à dire la probabilité pour qu'on ai tiré m-1 billes distinctes au plus
par exemple pour m=5 P(X<=3) X peut valoir 1 2 ou 3 donc P(X<=3)=P(X=1 ou X=2 ou X=3) puisqu'on a unions disjointes (on ne peut pas avoir X=2 et X=3 par exemple) ca se transforme en somme non?

[invitec2cbca97]

en faite a l'origine la question c'est déterminer P(X>2sqrt(N)) puis de regarder la limite quand N tend vers l'infini.
donc au début je me suis dis que ça voulais dire que, notant k la partie entière de 2sqrt(N), il y ait k billes distinctes mais ca semble pas trop logique car on aurait P(X>2sqrt(N))=P(X=k)
donc je me suis penché sur P(X>2sqrt(N) )=P(X=k ou X=k+1 ou X=k+2 ....)=1-P(X=k-1 ou X=k-2 ou ... ou X=1).
une fois que j'avais ça en tête je me suis mis à chercher P(X<=m) mais je vois pas trop pourquoi le raisonnement est faux?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

e cherche c'est à dire la probabilité pour qu'on ai tiré m-1 billes distinctes au plus

Ok, j'avais lu trop vite.
Tu veux déterminer les P(X=i), ce qui est assez facile, à condition de bien penser à l'énoncé (tu t'es bien trompé !) : Combien vaut P(X=1) ? autrement dit, quelle est la probabilité, en tirant une seule bille, qu'elle ait déjà été tirée ? combien vaut P(X=2) ? P(X=3) ? P(X=4) ? Généralisation facile. Ensuite P(X<=m) est vite calculé, et pour m=N+1 ou plus, on vérifiera qu'on trouve bien 1.
A noter : un arbre des possibles donne les résultats de façon imagée.

Bon travail !

[invitec2cbca97]

ok je recommence alors (bien évidement je comprendrai si vous ne souhaité pas me répondre, j'imagine que vous pouvez avoir d'autre chose plus intéressante à faire et vous remercie vraiment de m'accorder un peu de votre temps.)

P(X=1)=0 puisque en tirant une seule bille elle est forcement unique : on ne peut donc pas tirer qu'une seule bille pour que le jeux s’arrête.
P(X=2) est la probabilité que la deuxième soit déjà tirée. P(X=2)=N/(N*N) = 1/N : pour ca je me suis imaginé l'ensemble des couple (x,x) : il y en a N et l'ensemble des couples (x,y) est N*N.
: au début on a N choix, ensuite (N-1) choix(car la deuxieme doit etre distinct du premier) puis ensuite 2 (le dernier est soit la première soit la deuxième)


bon en faite c'est forcement pas ca puisque P(X=N+1) ne donne pas 1 et effectivement ca devrais. je sais pas trop pourquoi ca bug mais j'y réfléchi!

[invitec2cbca97]

Bon ben je sèche je dois être trop sur mon idée et je vois pas le truc très certainement évident qui m’échappe.
Si vous avez un petit indice je suis pas contre sinon j'abandonne (enfin pour ce soir je retenterai demain )

[gg0]

Attention,

P(X=N+1) ne fait pas 1, c'est P(X<=N+1) qui fait 1.

Cordialement.

[invite8ac20103]

Bonjour,

Je ne suis pas un spécialiste des probabilités, j'essaie de travailler cette discipline...

Je soumet donc mon idée, peut etre que ca pourra aider.

On vois ca comme un tirage de N boules de K catégories toutes différentes équiprobables. K = N .

Toutes les boules sont différentes, cela forment une k-liste.
L'equiprobabilité nous donne P(B) = nombre de cas favorable / nombre de cas possible.

Le nombre de cas favorable est donc les arrangements de k boules parmis N : A^k_N
Le nombre de cas possible est N^k

D'ou X suit la loi de proba : P(X=k) = A^k_N / N^k

Apres résoudre P( ) et trouver k ?

A voir si le raisonnement est bon ou pas ..

Cdt

[invitec2cbca97]

ben voila erreur stupide...
(juste pour confirmation quand je calcul P(Tn<=m) je ne calcul pas la loi de Tn mais bien sa fonction de réparation?)
bon du coup j'ai tester avec quelque valeurs numériques et ça semble bien donnée 1.
mais me revoilà bloqué sur la somme^^


du pour pour étudier la limite quand N tend vers +infini je sais pas quoi faire parce que il me semble qu'on ne peut pas ajouter des équivalent donc la formule de stirling me servira pas ici c'est ca?

[invitec2cbca97]

merci beaucoup pour l'aide Blead il ne semble pas y avoir d'erreur du coup je doute de mon raisonnement j'y réfléchi et vous tiens au courant

[invitec2cbca97]

en faite je crois que les arrangement ne sont pas suffisant Blead. ca résoudrais le problème si le problème était de tirer k billes distinctes mais ça n'inclus pas le fait que la (k+1)ieme est identique au k première je pense( a confirmer par gg0 par exemple^^) et de toute facon ca pose toujours le problème du calcul de la somme et de la limite quand N->+infini

[Amanuensis]

On a p(X=i+1) = p(X=i+1 | X>i) p(X>i)

Or p(X=i+1 | X>i) n'est pas très dur à calculer. D'où p(X>i) sans calculer la somme...

(En fait le raisonnement que vous avez donné pour calculer p(X=i), contient aussi le raisonnement pour calculer p(X<i)...)

[invitec2cbca97]

désolé de ne pas avoir donné signe de vie depuis quelque jours(problèmes de connexion)

j'ai finalement réussi à faire le calcul que je voulais grâce à vous tous : merci énormément