La topologie c'est de la folie

[invite204ee98d]

Bonsoir,

(Non la topologie n'est pas de la folie)

Dans un exo j'ai d'abord montré que si X est dense dans R, il en est de même pour toute partie de R contenant X.
Puis j'ai montré l'inégalité suivante : où

(E étant la partie entière)

Maintenant je dois montrer que D ensemble des décimaux relatifs est dense dans R.
Si je ne me trompe pas on a x(réel) encadré par des décimaux relatifs mais cela ne veut pas dire que x est contenu dans les décimaux relatifs pour autant.
Donc est ce que si je dis que comme chaque réel est entre deux décimaux relatifs ca implique que l'adhérence de de D est R ????????????

Merci, hasta...
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[invite427a7819]

Bonsoir,

En effet chaque réel x est entre deux décimaux relatifs, par exemple E(x) et E(x) + 1... Cela ne suffit pas pour conclure. Vous auriez plutôt envie de montrer que tout x réel est compris entre deux décimaux relatifs que vous pouvez choisir arbitrairement proches.

Vous pouvez donc essayer de montrer que la suite est une suite de décimaux convergeant vers x (en voyant l'adhérence comme l'ensemble des limites de suites d'éléments d'un ensemble) ou bien essayer de vous servir de la définition topologique de l'adhérence (ce qui me semble plus indiqué au vu de la deuxième question).

Ce qui est gênant dans ce type de raisonnements, c'est qu'on utiliserait pas la première remarque... Mais bon, ils permettent d'aboutir.

[invite204ee98d]

En référence à votre première phrase : j'ai montré que : "x réel est compris entre deux décimaux relatifs que vous pouvez choisir arbitrairement proches" puisque j'ai écrit : j ai montré l'inégalité suivante ...
L'inégalité écrite dans mon premier message traduit exactement vos premières phrases puisque j ai x (réel) compris entre et qui sont aussi proche que je veux. Ca je l'ai fait.

[invite204ee98d]

Ce que je n'ai pas fait c'est montrer que D est dense dans R

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite204ee98d]

Ah oui pardon vous vouliez dire d'utiliser la definition de l'adherence par les suites et c'est immédiat.

[invite204ee98d]

Mais du coup est ce possible de retrouver la densité de Q dans R ?

La méthode serait similaire, un encadrement,...
sauf qu'un rationnel peut avoir une infinité de chiffres après la virgule contrairement aux décimaux relatifs non ?
Autre chose, sommes nous bien d'accord que a=m/10^{n} avec m dans Z et n dans N ne représente pas tous les décimaux ?

[inviteea028771]

Mais du coup est ce possible de retrouver la densité de Q dans R ?

Si tu as montré que les décimaux sont denses dans R, alors c'est immédiat, puisque les décimaux sont inclus dans Q

[invite705d0470]

Si, tous les décimaux sont bien de cette forme !

Sinon, cela reste vrai sur les dyadiques par exemple (puissances de 2 au lieu de 10, c'est parfois utile pour raisonner par densité)

[invite427a7819]

Bonsoir,

Pour ce qui est de ceci :

En référence à votre première phrase : j'ai montré que : "x réel est compris entre deux décimaux relatifs que vous pouvez choisir arbitrairement proches" puisque j'ai écrit : j ai montré l'inégalité suivante ....

Je faisais moi-même référence à cela :

Si je ne me trompe pas on a x(réel) encadré par des décimaux relatifs mais cela ne veut pas dire que x est contenu dans les décimaux relatifs pour autant.

Je vous prie d'excuser l'imprécision de ma remarque (je vous avais sans doute aussi mal compris) : je voulais dire que l'argument que vous pouviez éventuellement utiliser était le mien ("des décimaux aussi proches que vous voulez") et pas le vôtre ("des décimaux relatifs").


Pour ce qui est de la définition topologique, je pensais en fait à celle-ci : si A est une partie d'un espace vectoriel normé E, l'adhérence de A est définie par :

(aussi connue sous le nom de : l'intersection de tout boule ouverte de centre x est d'intersection non vide avec A). Je trouve ça un peu plus immédiat (encore plus immédiat, faut-il croire) qu'en allant chercher des limites de suites.