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Exercice sur les suites




  1. #1
    babydoll68

    Exercice sur les suites

    Bonjour, je cherche de l'aide pour un exercice que je dois rendre...

    bon c'est un peu compliqué à écrire lénoncé
    : soit un une suite définie par la donnée u0 appartient à l'ensemble des complexes et la relation de récurrence : un+1 = (un + valeur absolue(un)) /2

    1) étudier un lorsque u0 appartient à l'ensemble des réels
    2) on suppose désormais que u0 apparient à l'ensemble des complexes privés des réels
    montrer que pour tout n supérieur ou égal à 0, il existe un unique couple (rn,Θn) appartenant à R+* X (]-pi,0[U]U,pi[) tel que un=rn exp(iΘn)
    on précisera une relation de récurence entre (rn+1,Θn+1) et (rn,Θn) pour tout n supérieur ou égal à 0
    en déduire une expression explicite de Θn en fonction de Θ0 et n.
    3)en admettant que pour tout α appartenant à R, 2sinαcosα=sin(2α),montrer que (rnsinΘ) est une suite géométrique de raison àpréciser
    en déduire une expression de rnsinΘn en fonction de n,0 et r0
    4) in dit qu'une suite (vn) d'élements de C converge vers v lorsque les suites des parties imaginaires et réelles (Re(un)) et (Im(un)) convergent respectivement vers Re(v) et Im(v)
    Conclure ici que (un) converge vers une limite à préciser

    Je n'ai fait que la première question et encore je suis pas sure ^^'

    J'ai dit que si un inférieur ou égal à 0,la suite est constante égale à 0 et que si un est strictement supérieur à 0 alors un+1=un ?
    et après pour la deux j'ai pensé à un raisonnement par récurrence mais je ne vois pas trop..

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir.

    Pour le 1), et si u0<0, la suite est nulle à partir de u1.
    Pour le 2), effectivement, une récurrence est logique. Mais inutile; car j'imagine que tu as reconnu ce que sont rn et Θn pour un. Donc existence évidente et unicité aussi. Le plus intéressant est de déterminer la relation. Une représentation devrait t'aider (|un| est un complexe facile à placer).

    Bon travail !

  4. #3
    babydoll68

    Re : Exercice sur les suites

    Merci pour votre réponse !
    oui en effet rn et Θn sont le module et l'argument de un et on peut alors affirmer qu'ils sont uniques.
    Seulement après pour établir la relation;
    est-ce que ce n'est pas juste de dire que si un est positif, alors un+1 sera toujours égal à un ? dans ce cas on aurait rn = rn+1 et Θn = Θn+1 mais ça ne me semble pas coller pour la suite..
    et excusez moi si c'est une question bête mais comment est ce qu'on peut représenter une suite définie par récurrence si on ne connait pas le premier terme ?


  5. #4
    gg0

    Re : Exercice sur les suites

    Attention,

    un a une infinité d'arguments (voir tes cours), et Θn en est un particulier. Il faut justifier qu'il est dans l'ensemble proposé et qu'il n'y en a qu'un seul.

    "Seulement après pour établir la relation;
    est-ce que ce n'est pas juste de dire que si un est positif, ..." ?? ça veut dire quoi "positif" pour un complexe non réel ??
    Fais un dessin, te dis-je ... représente u0 (n'importe ou sauf sur l'axe des réels), |u0|, puis u1, |u1|, puis u2...
    Mais déjà, la construction de u1 à partir de u0 sera éloquente (on fait de même pour passer de un à un+1).
    Et il s'agit de représenter des complexes, pas de représenter la suite (quoique ...)

    Cordialement.

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