Exercice sur les suites

[invite99dcb221]

Soit a € R*+. On etudie une suite défine par uo=a et:
un+1= (un^3 +3un)/(3un²+1)

1/ définir la fonction de variable réelle telle que pour tout n de N, un+1=f(un)
Préciser l'ensemble de définition de continuité et de dérivabilité de f.
Donner son tableau de variations.

2/ Montrer que pour tout n de N, un>0

3/Etudier le comportement asymptotique de u en fonction de la valeur de a.

Indication il peut etre utile de vérifier que f(rac((3-rac5)/2))< rac((3-rac5)/2))

1/ pour la 1ere queston j'ai défini f de R dans R telle que f(x)= (x^3+3x)/(3x²+1)

C'est un fonction rationnelle donc définie et dérivable et continue sur R.
Donc d'apres la dérivée, on trouve que f est strictement croissante sur R

2/ je l'ai montré par récurrence

3/ et c la que je ne comprend pas la question, et je ne compren pas le lien avec les questions d'avant, ni l'utilité de l'indication...

merci de m'aider
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[invited5b2473a]

Soit a € R*+. On etudie une suite défine par uo=a et:
un+1= (un^3 +3un)/(3un²+1)

1/ définir la fonction de variable réelle telle que pour tout n de N, un+1=f(un)
Préciser l'ensemble de définition de continuité et de dérivabilité de f.
Donner son tableau de variations.

2/ Montrer que pour tout n de N, un>0

3/Etudier le comportement asymptotique de u en fonction de la valeur de a.

Indication il peut etre utile de vérifier que f(rac((3-rac5)/2))< rac((3-rac5)/2))

1/ pour la 1ere queston j'ai défini f de R dans R telle que f(x)= (x^3+3x)/(3x²+1)

C'est un fonction rationnelle donc définie et dérivable et continue sur R.
Donc d'apres la dérivée, on trouve que f est strictement croissante sur R

2/ je l'ai montré par récurrence

3/ et c la que je ne comprend pas la question, et je ne compren pas le lien avec les questions d'avant, ni l'utilité de l'indication...

merci de m'aider

Le but est de savoir à quelle condition sur a si (Un) admet une limite, converge/diverge/etc...
Avec 1) et 2), tu peux déduire les variations de (Un). Ensuite, regarde si f admet un point fixe (qui serait éventuellement une limite de (Un)). A toi de regarder si (Un) converge effectivement ou diverge (et l'indication sert alors).