Exercice sur les suites

invite0138cbca · 26/10/2008, 21h46

Bonsoir, j'ai un dm à faire, j'ai commencé à le faire mais il y a un exercice où je bloque par difficulté avec ce chapitre des suites. J'aurai besoin de votre aide svp!!
Voici l'exercice:

On définit les deux suites (an) et (bn) (avec 0<ouégal a<ouégal b) par a0=a, b0=b et pour tout n de N: a n+1 est la moyenne arithmétique de an et bn et b n+1 est la moyenne géométrique.

1.montrer que, pour tout n de N; a<ouégal an<ouégal a n+1 <ouégal b n+1 <ou égal bn <ou égal b

(j'en ai déjà déduis que a n+1= an+bn/2 comme c'est la moyenne arithmétique et b n+1= V(an*bn) (racine de an/bn) comme c'est la moyenne géométrique)
après je n'arrive pas à faire cette question.

2.prouver que, pour tout n de N, b n+1 - a n+1<ou égal 1/2(bn-an)
j'ai essayé mais en vain également.

3. en déduire que, pour tout n de N, bn-an<ou égal (b-a)/2puissance n
comme c'est en déduire je n'ai pas tenté cette question

4.montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.
n'ayant pas bien compri les suites je ne sais pas bien comment procéder.

merci bcp d'avance de votre aide.
j'attends votre réponse avec impatience.

invite7d436771 · 27/10/2008, 19h36

Bonsoir,

Alors je reformule un peu tout ça. En effet tu as $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . Tu veux montrer $\text{[math]}$ .

Je lance des idées, sans savoir si elles vont aboutir :
Montrer que $\text{[math]}$ revient à prouver que $\text{[math]}$
Montrer que $\text{[math]}$ revient à prouver que $\text{[math]}$ donc à quelque chose près la condition précédente.
Pour montrer que pour tout n $\text{[math]}$ j'opterais pour une récurrence.

Cordialement,

Nox

invite0138cbca · 27/10/2008, 21h10

ok merci beaucoup mais dites moi ne faut-il pas prouver aussi que
a n+1<ou égal b n+1?

en ce qui concerne la récurrence je n'ai pas bien compri ce point du cours si vous pouviez m'aider svp..
je vais essayer de commencer:
-Montrons par récurrence que la propriété P(n):"0<ouégal an<ou égal bn) est vrai pour tout entier naturel n ..et la je ne sais pas bien comment faire

merci d'avance pour votre future réponse.

invite7d436771 · 27/10/2008, 21h49

Bonsoir,

$\text{[math]}$ revient quand même à $\text{[math]}$ , au décalage d'indice près ...

Cordialement,

Nox

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invite0138cbca · 27/10/2008, 22h01

c'est encore moi..
j'ai réussi a initialiser il me semble mais je bloque à l'hérédité
je ne sais pas comment montrer que 0<ou= a n+1 <ou = b n+1
si vous pouviez m'aider svp vous me seriez d'un grand secours!!

invite0138cbca · 27/10/2008, 22h23

re bonsoir,
merci encore pour votre réponse.

comment prouver que a n+1<ou= b n+1 dans le cas de l'hérédité pour montrer la propriété 0<ou= an <ou= bn

merci d'avance

invite7d436771 · 27/10/2008, 23h32

Bonsoir,

Essaye de voir ce que signifie $\text{[math]}$ pour commencer ... En remplacant ça donne $\text{[math]}$ ce qui élevé au carré donne peut-être des choses avec les identités remarquables ... Et il n'y aurait peut-être même plus besoin d'une récurrence, à voir.

Cordialement,

Nox

invite0138cbca · 28/10/2008, 03h19

bonsoir j'ai essayé de faire se que vous m'avez dit mais j'arrive à:
an²+2anbn+bn²<ou= 4anbn je ne vois pas bien se qu'il faut faire à partir de là pour prouver l'inégalité 0<ou= a n+1<ou = b n+1

merci de m'aider d'avance.

invite7d436771 · 28/10/2008, 18h28

Bonjour,

Tout passer du même côté et utiliser une identité remarquable peut-être ...

Cordialement,

Nox

invite0138cbca · 28/10/2008, 18h34

bonsoir,j'ai trouvé (an-bn)²<ou= 0
cela suffit de prouver que a n+1< ou= b n+1?????

merci d'avance pour votre réponse.

invite7d436771 · 28/10/2008, 19h03

Bonsoir,

Envoyé par gomezc

bonsoir,j'ai trouvé (an-bn)²<ou= 0
cela suffit de prouver que a n+1< ou= b n+1?????

merci d'avance pour votre réponse.

Ca ne suffit pas, bien évidemment. Tu as juste analysé ton problème et peut-être trouvé ce qui pourrait t'amener à une solution, pour pouvoir montrer ce que tu veux ... Tu as montré qu'il y avait un lien entre " $\text{[math]}$ " et " $\text{[math]}$ ". Or il est assez simple de commenter la deuxième ...

Cordialement,

Nox

invite0138cbca · 28/10/2008, 19h39

bonsoir,

je viens de comprendre pour la question 1., je vous remercie beaucoup.

J'ai une autre question pour la question 2. il nous demande de prouver que b n+1 - a n+1 <ou= 1/2(bn -an)
j'ai developper je trouve b n+1- bn< bn se sui nous donne b n+1<ou= bn
mias je ne vois pas comment prouver que b n+1 - a n+1 <ou égal 1/2(bn -an)
si vous pouviez m'aider svp, je vous remrci beaucoup d'avance

invite7d436771 · 28/10/2008, 19h54

Bonsoir,

Envoyé par gomezc

j'ai developper je trouve b n+1- bn< bn se sui nous donne b n+1<ou= bn
mias je ne vois pas comment prouver que b n+1 - a n+1 <ou égal 1/2(bn -an)

Tu as prouvé à la question 1 que $\text{[math]}$ donc tu effectues les opérations inverses que ce que tu as appelé "développer" et tu obtiendras ce que tu veux

.

Cordialement,

Nox

invite0138cbca · 28/10/2008, 21h46

bonsoir,
mais comment sa j'effectues les opérations inverses?
que doi-je faire exactement pour prouver cette inéquation?

merci d'avance pour votre réponse

invite7d436771 · 28/10/2008, 22h39

Rebonsoir,

Tu as montré l'équivalence entre tes deux relations "b n+1 - a n+1 <ou= 1/2(bn -an)" et "b n+1<ou= bn". Or tu as d'autre part montré que la deuxième est vraie à la question 1. Pour rédiger ta question tu pars alors de la deuxième relation, dont tu sais qu'elle et vraie puisque tu l'as montré à la question précédente, et tu retrouves la première en faisant ce que tu as fais pour montrer que ces deux relations revenaient au même, mais en le rédigeant dans l'ordre inverse.

Cordialement,

Nox, qui va aller travailler.

invite0138cbca · 30/10/2008, 14h48

bonjour, je voulais juste vous remercier pour toute l'aide que vous m'avez fourni!
merci encore et bonne journée

invite7d436771 · 30/10/2008, 19h55

Bonsoir,

De rien ! Avec plaisir !

A bientôt sur Futura-Sciences j'espère !

Cordialement,

Nox

Exercice sur les suites