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Exercice sur les suites



  1. #1
    gomezc

    Exercice sur les suites

    Bonsoir, j'ai un dm à faire, j'ai commencé à le faire mais il y a un exercice où je bloque par difficulté avec ce chapitre des suites. J'aurai besoin de votre aide svp!!
    Voici l'exercice:

    On définit les deux suites (an) et (bn) (avec 0<ouégal a<ouégal b) par a0=a, b0=b et pour tout n de N: a n+1 est la moyenne arithmétique de an et bn et b n+1 est la moyenne géométrique.

    1.montrer que, pour tout n de N; a<ouégal an<ouégal a n+1 <ouégal b n+1 <ou égal bn <ou égal b

    (j'en ai déjà déduis que a n+1= an+bn/2 comme c'est la moyenne arithmétique et b n+1= V(an*bn) (racine de an/bn) comme c'est la moyenne géométrique)
    après je n'arrive pas à faire cette question.

    2.prouver que, pour tout n de N, b n+1 - a n+1<ou égal 1/2(bn-an)
    j'ai essayé mais en vain également.

    3. en déduire que, pour tout n de N, bn-an<ou égal (b-a)/2puissance n
    comme c'est en déduire je n'ai pas tenté cette question

    4.montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.
    n'ayant pas bien compri les suites je ne sais pas bien comment procéder.


    merci bcp d'avance de votre aide.
    j'attends votre réponse avec impatience.

    -----


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  3. #2
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir,

    Alors je reformule un peu tout ça. En effet tu as et avec . Tu veux montrer .

    Je lance des idées, sans savoir si elles vont aboutir :
    Montrer que revient à prouver que
    Montrer que revient à prouver que donc à quelque chose près la condition précédente.
    Pour montrer que pour tout n j'opterais pour une récurrence.

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  4. #3
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    ok merci beaucoup mais dites moi ne faut-il pas prouver aussi que
    a n+1<ou égal b n+1?

    en ce qui concerne la récurrence je n'ai pas bien compri ce point du cours si vous pouviez m'aider svp..
    je vais essayer de commencer:
    -Montrons par récurrence que la propriété P(n):"0<ouégal an<ou égal bn) est vrai pour tout entier naturel n ..et la je ne sais pas bien comment faire

    merci d'avance pour votre future réponse.

  5. #4
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir,

    revient quand même à , au décalage d'indice près ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  6. #5
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    c'est encore moi..
    j'ai réussi a initialiser il me semble mais je bloque à l'hérédité
    je ne sais pas comment montrer que 0<ou= a n+1 <ou = b n+1
    si vous pouviez m'aider svp vous me seriez d'un grand secours!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    re bonsoir,
    merci encore pour votre réponse.

    comment prouver que a n+1<ou= b n+1 dans le cas de l'hérédité pour montrer la propriété 0<ou= an <ou= bn

    merci d'avance

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  10. #7
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir,

    Essaye de voir ce que signifie pour commencer ... En remplacant ça donne ce qui élevé au carré donne peut-être des choses avec les identités remarquables ... Et il n'y aurait peut-être même plus besoin d'une récurrence, à voir.

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  11. #8
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    bonsoir j'ai essayé de faire se que vous m'avez dit mais j'arrive à:
    an²+2anbn+bn²<ou= 4anbn je ne vois pas bien se qu'il faut faire à partir de là pour prouver l'inégalité 0<ou= a n+1<ou = b n+1

    merci de m'aider d'avance.

  12. #9
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonjour,

    Tout passer du même côté et utiliser une identité remarquable peut-être ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  13. #10
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    bonsoir,j'ai trouvé (an-bn)²<ou= 0
    cela suffit de prouver que a n+1< ou= b n+1?????

    merci d'avance pour votre réponse.

  14. #11
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par gomezc Voir le message
    bonsoir,j'ai trouvé (an-bn)²<ou= 0
    cela suffit de prouver que a n+1< ou= b n+1?????

    merci d'avance pour votre réponse.
    Ca ne suffit pas, bien évidemment. Tu as juste analysé ton problème et peut-être trouvé ce qui pourrait t'amener à une solution, pour pouvoir montrer ce que tu veux ... Tu as montré qu'il y avait un lien entre "" et "". Or il est assez simple de commenter la deuxième ...

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  15. #12
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    bonsoir,

    je viens de comprendre pour la question 1., je vous remercie beaucoup.

    J'ai une autre question pour la question 2. il nous demande de prouver que b n+1 - a n+1 <ou= 1/2(bn -an)
    j'ai developper je trouve b n+1- bn< bn se sui nous donne b n+1<ou= bn
    mias je ne vois pas comment prouver que b n+1 - a n+1 <ou égal 1/2(bn -an)
    si vous pouviez m'aider svp, je vous remrci beaucoup d'avance

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  17. #13
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par gomezc Voir le message
    j'ai developper je trouve b n+1- bn< bn se sui nous donne b n+1<ou= bn
    mias je ne vois pas comment prouver que b n+1 - a n+1 <ou égal 1/2(bn -an)
    Tu as prouvé à la question 1 que donc tu effectues les opérations inverses que ce que tu as appelé "développer" et tu obtiendras ce que tu veux .

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  18. #14
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    bonsoir,
    mais comment sa j'effectues les opérations inverses?
    que doi-je faire exactement pour prouver cette inéquation?

    merci d'avance pour votre réponse

  19. #15
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Rebonsoir,

    Tu as montré l'équivalence entre tes deux relations "b n+1 - a n+1 <ou= 1/2(bn -an)" et "b n+1<ou= bn". Or tu as d'autre part montré que la deuxième est vraie à la question 1. Pour rédiger ta question tu pars alors de la deuxième relation, dont tu sais qu'elle et vraie puisque tu l'as montré à la question précédente, et tu retrouves la première en faisant ce que tu as fais pour montrer que ces deux relations revenaient au même, mais en le rédigeant dans l'ordre inverse.

    Cordialement,

    Nox, qui va aller travailler.
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  20. #16
    gomezc

    Re : Exercice sur les suites

    bonjour, je voulais juste vous remercier pour toute l'aide que vous m'avez fourni!
    merci encore et bonne journée

  21. #17
    Nox

    Re : Exercice sur les suites

    Bonsoir,

    De rien ! Avec plaisir !

    A bientôt sur Futura-Sciences j'espère !

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

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