voilà un exercice très interessant qui m'a pris du temps pour le résoudre mais j' y suis parvenu alorsbonne chance à ceux qui en ont la vocation:

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
u0= 1/2 et un+1= 1/2*(un+2/un)

1.a) Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par :
f(x) = 1/2 * (x+2/x)
Etudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j ). (On prendra comme unité 2 cm)

b) Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l'axe (O,i) d'abscisse respectives u0, u1, u2 et u3.

2) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : un supérieur ou égale à racine de 2

3) Montrer que, pour tout x supérieur ou égale à racine 2, f(x) inférieur ou égale à x.

4) En déduire que la suite (un) est décroissante à partir du rang 1

5) Prouver qu'elle converge.

3) Soit l la limite de la suite (un). Montrer que l est solution de l'équation :

x= 1/2 * (x+2/x)

En déduire sa valeur.