morphisme et sous-groupe normal

[invite97a526b6]

Bonjour,
Ma question concerne l'image et l'image réciproque par un morphisme, de sous-groupes.

Je sais que l'image d'un sous-groupe est un sous-groupe, que l'image réciproque d'un sous-groupe est un sous-groupe. En d'autre termes, les morphismes concervent les sous-groupes dans les deux sens.

Mais qu'en est-il de même de la normalité ?
L'image d'un sous-groupe normal est-il bien un sous-groupe normal ?
L'image réciproque d'un sous-groupe normal est-elle bien un sous-groupe normal ?
La réponse est bien sûr positive si c'est un ismorphisme.
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[invite986312212]

si ton morphisme n'est pas surjectif, ça va coincer (puisque tu vas avoir des produits que tu ne pourras pas voir comme image par f d'un produit homologue, si x n'est pas dans l'image de f)

[invite2c3ff3cc]

L'image d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué de l'image. On peut rien dire de plus en général (regarder l'injection canonique d'un sous-groupe vers son groupe par exemple).

Par contre l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué.

[invite97a526b6]

L'image d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué de l'image. On peut rien dire de plus en général (regarder l'injection canonique d'un sous-groupe vers son groupe par exemple).

Par contre l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un homomorphisme est un sous-groupe distingué.

Merci pour ta réponse très claire. Cela ne doit pas être trop difficile à démontrer.

[A voir en vidéo sur Futura]