Sous-groupe normal

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche à savoir s'il est vrai qu'un groupe n'admettant qu'un seul sous groupe d'un ordre donné est forcément invariant.
J'ai essayé de trouver un contrexemple sans succès et je ne parviens pas à montrer la propriété.

Pourriez-vous m'aider ?

merci !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je cherche à savoir s'il est vrai qu'un groupe n'admettant qu'un seul sous groupe d'un ordre donné est forcément invariant.
J'ai essayé de trouver un contrexemple sans succès et je ne parviens pas à montrer la propriété.

Pourriez-vous m'aider ?

merci !

Que peuux-tu dire des conjugués de ton sous-groupe ?

[Bleyblue]

Les éléments conjués du sous-groupe ?

Je ne vois rien de particulier lié au fait que le sous-groupe est le seule qui possède cet ordre la.
Si a et b sont conjugés alors il existe c tels que :

cac^-1 = b

Mais il faudrait que je montre (ou pas) que pour tout élément t du groupe et a du sous-groupe on a :

tat^-1 = b avec b dans le sous-groupe

merci

[invite57a1e779]

Les éléments conjués du sous-groupe ?

Je ne vois rien de particulier lié au fait que le sous-groupe est le seule qui possède cet ordre la.
Si a et b sont conjugés alors il existe c tels que :

cac^-1 = b

Mais il faudrait que je montre (ou pas) que pour tout élément t du groupe et a du sous-groupe on a :

tat^-1 = b avec b dans le sous-groupe

merci

Si est un sous-groupe de , que peux-tu dire de pour ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Rien.
C'est juste les tht^-1 avec h appartenant à H et t fixé

merci

[invite57a1e779]

Rien.
C'est juste les tht^-1 avec h appartenant à H et t fixé

merci

Oui, d'accord ; mais ça n'a pas de structure, ça n'a pas de cardinal ?

[Bleyblue]

Heu, si, certes

Mais le cardinal déja on n'en sait rien car rien ne garantit qu'on travail avec un groupe fini.

Pour la structure ça fait vaguement pensé aux classes de conjugaisons mais ça n'est pas ça car la classe de conjugaison d'un élément x de G c'est les gxg^-1 avec x fixé et g variable et non l'inverse

merci

[Bleyblue]

Ou alors si c'est l'image du sous groupe H par l'automorphisme interne
mais ça n'apporte pas grand chose

merci

[invitebe0cd90e]

Ou alors si c'est l'image du sous groupe H par l'automorphisme interne
mais ça n'apporte pas grand chose

merci

Donc on a :

- est un sous groupe de G....
- est isomorphe a H...

Combien ya t il de sous groupes de G isomorphes a H ? pas des masses, si tu regardes tes hypotheses....

[invite57a1e779]

Ou alors si c'est l'image du sous groupe H par l'automorphisme interne
mais ça n'apporte pas grand chose

merci

Mais si, un automorphisme a deux propriétés :
– c'est un morphisme de groupes, donc est, comme , un sous-groupe de ;
– c'est bijectif, donc a le même nombre d'éléments que .

Peux-tu conclure ?

[Bleyblue]

Aucun sous groupe de G isomorphe à H si ce n'est H lui même donc tHt^-1 c'est H et c'est terminé.

Bigre ... joli comme exercice.

merci mille fois !