Familles génératrices

[invite4c80defd]

Bonsoir à tous,
Je vous contacte aujourd'hui car j'ai des questions concernant plusieurs exos sur les familles génératrices, les bases , dimension....
Voila le premier exo:
Soit E1={A/(a,b) appartiennent à R²}
avec A la matrice:
a b
b a

Je dois montrer que c'est un sev de M₂₂(R), ça j'y suis arrivé
Deuxièmement, je dois déterminer une famille génératrice de E1 en en déduire une base et la dimension de E1
Seulement, qi j'avais une base, ça me donnerait les nombre de vecteurs à utiliser mais ici, comment procéder ? quels elements (et combien ) en prendre ?
enfin , derniere question, quelle pourrait etre la base canonique de M₂₂(R): on verra après.

Merci pour vos conseils
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[invite4c80defd]

Tant que j'y suis, j'ai un equestion sur le déterminant d'une matrice qu'il me faut calculer
J'ai essayé de simplifier masi je ne m'en sort pas
La voici:
D7=
1002 1001 999
997 1002 998
1001 1003 1000

Merci pour vos suggestions

[invitefb226042]

Vect de
1 0 , 0 1
0 1 , 1 0 est générateur

et tu constates facilement que c' est libre, donc ....

[invite427a7819]

Bonsoir,

Le déterminant d'une matrice ne change pas si vous ajoutez des combinaisons linéaires des autres lignes (ou des autres colonnes) à une certaine ligne (ou colonne). Vous pouvez vous servir de la dernière lignes pour virer tous ces 1000 et des poussières des deux premières, puis faire de même pour les deux premières colonnes. Il ne vous restera qu'un gentil 1000 en bas à droite, et des coefficients un peu plus clairs pour voir apparaître des combinaisons plus propres à placer des 0 pour ensuite développer selon une ligne / colonne.

Après, à un moment où à un autre, il faudra vraisemblablement accepter de faire des calculs moches...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4c80defd]

ok merci beaucoup à tous les deux, je vais essayer comme ça !

[invite4c80defd]

pour la base canonique, on aurait donc la base (1,0),(0,1) car ce sont ces vecteurs qui composent :
1 0 , 0 1
0 1 , 1 0
?
Merci d'avance

[invitefb226042]

Non , une base canonique de M22(R) c' est la famille des (Ei,j) avec 1<=i<=2 et 1<=j<=2 ( avec (Ei,j) une matrice 22 evidemment et (Ei,j) la matrice dont le coefficient à l' intersection de la i ième ligne et j ième colonne vaut 1 , et les autres coefficients valant 0)

[gg0]

Bonsoir Isis-Mirka.

Pour ton E1, il est facile de voir que deux nombres donnent la matrice, donc qu'il y a deux dimensions. En essayant d'écrire ta matrice sous la forme M=aN+bP, tu trouves tout de suite la base proposée par Cauchy-Shwarz.

La linéarité c'est simple, et dimension et degrés de liberté vont bien ensemble.

Cordialement.

[invite4c80defd]

ah ok , je comprend mieux..
Merci gg0 pour ces précisions
Merci beaucoup pour votre aide à tous !
Bonne nuit!

[invite4c80defd]

euh...j'ai parlé trop vite!
J'ai encore besoin de votre aide précieuse pour un renseignement
En fait , je dispose de 3 vecteurs a ,b, et c de R4:
a(0,1,-1,2)
b(1,3,0,-2)
c(2,1,-3,4)

On me demande la dimension de F=vect(a,b,c)
Je pensais au début trouver une base de F et le nombre de vecteurs de la base m'aurait donné la dimension de F mais pour avoir une base, il faut une famille libre et génératrice: et pour montrer que l'on a une famille génératrice dans R4, il me faut au moins 4 vecteurs ...donc comment je peux trouver la dimension de F en étant dans R4 avec 3 vecteurs ?
De meme, la deuxième partie de l'exercice est la meme choses que ci-dessus mais avec deux vecteurs seulement!

Merci de vos conseils

[gg0]

Manifestement tu n'as rien compris à la notion de famille génératrice, ou pas lu ton énoncé : "et pour montrer que l'on a une famille génératrice dans R4" ???
"génératrice dans" ne veut rien dire ! "génératrice de ..." a un sens
Ici, c'est F qui t'intéresse, et trouver une famille génératrice de F ne demande aucun effort !!! reste plus qu'à savoir si elle est libre, et si elle ne l'est pas à éliminer un vecteur combinaison linéaire des autres et recommencer.

Il serait sans doute très efficace pour toi de relire un cours d'algèbre linaire depuis le début (ça prend une à 2 heures) pour voir tout ce que tu n'as pas compris en étant passé à côté. En lisant avec le souci de bien comprendre les phrases, en les analysant grammaticalement. Tu perds trop de temps sur des évidences ...

Cordialement.

[invite4c80defd]

ok merci.
Je pense que l'on peux faire encore plus simple car je viens de trouver une propriété que je n'ai encore jamais utilisé mais qui à l'air de s'avérer tres efficace.
rang(matrice faite des 3 vecteurs)=dimension de l'espace vectoriel engendré par ces 3 vecteurs=ordre du déterminant fait des trois vecteurs colonnes.

Merci