Familles libres/génératrices/bases

[invite75a127c9]

Bonjour, je suis très mauvais pour tout ce qui est espace véctoriel. Je ne comprend vraiment pas à quoi corespondent les familles et de ce fait je me tourne vers vous pour mon exercice:

dans R²:
F1= {(2,1),(4,3)}
F2= {(4,3),(-1,2),(6,-5)}

Voila deux des 4 familles de mon exercice.
Je doit déterminer si les familles suivantes sont des familles libres, des familles génératrice, des bases de R².

Si vous pouviez me donné un exemple résolu ou m'aiguillé assez précisement cela m'aiderai beaucoup.

Merci d'avance.
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[invite74727299]

c'est que du cours

[invite75a127c9]

Certainement, mais comme j'ai dit précédemment je n'ai pas vraiment compris le cour. Si quelqu'un a le courage de m'expliquer, même brievement, cela m'aiderai beaucoup .....

[invite1e1a1a86]

Une famille est dite libre si
entraine

Une famille est dite génératrice si
, tel que

Une base est une famille à la fois génératrice et libre (tout vecteur x s'écrit de manière unique ).
Dans un espace de dimension n finie, on a équivalence entre:
est libre
est génératrice
est une base



Il est souvent plus facile de montrer la liberté.

Enfin, Dans un espace de dimension n:
Une famille qui ne contient pas n éléments ne peut être une base.
Une famille qui contient strictement plus de n éléments ne peut être libre.
Une famille qui contient strictement moins de n éléments ne peut être génératrice.

Maintenant pour tes exercices:

On a une famille de 2 vecteurs dans un espace de dimension 2 ()
ainsi libre génératrice base.
Reste à montrer qu'elle est (ou pas) l'un des trois (la liberté est le plus simple )


On a une famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 2. Elle ne peut être ni libre ni une base.
Reste à montrer qu'elle est (ou pas) génératrice....


Si certains points (mentionnés ici) n'ont pas été vu dans ton cours, tu dois tout montré à la main....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75a127c9]

Merci de cette excellente explication! Je retourne travailler mon devoir.

[invite1e1a1a86]

pour les méthodes (qui peuvent varier quand même...)

pour la liberté, tu cherches des constantes tels que et tu écris toutes les équations qui en résultent
(exemple pour F1: 2a+4b=0 et 1a+3b=0)
soit tu arrives à prouver que toutes les constantes sont nulles (et donc la famille est libre), soit il existe (au moins) une solution non nulle (pas la peine de les chercher tous) et donc la famille n'est pas libre.

Pour le caractère générateur. tu prends x un élément quelconque de (dans ce cas). et tu cherches des constantes (qui dépendent de x) qui vérifie (on écrit donc toutes les équations qui en résultent et on cherche des lambdas). Il peut y avoir plusieurs solutions lambda mais on en cherche au moins une (une pourchaque x!).

[invite75a127c9]

Donc pour le caractère genérateur de F2 j'obtien:
( je met h a la place de lanbda )
x = h1 (4,3) + h2 (-1,2) + h3 (6,-5)

et en découlent les équations:
x = 4h1 - h2 + 6h3
x = 3h1 + 2h2 -5h3

Et la j'essai de résoudre?
( Pour prouvé qu'une famille est libre j'ai bien compris merci ^^)