Curiosité avec les dérivées partielles en coordonnées polaires

[invite394a49e7]

Bonjour,
En cherchant à exprimer des dérivées partielles en coordonnées polaires je suis tombé sur une chose bien étrange:
Sachant qu'on a x = r.cos θ et y = r.sin θ, on a naturellement ∂x/∂r = cos θ et ∂y/∂r = sin θ.
Maintenant on a aussi r² = x²+y², donc si on passe aux différentielles: 2r.dr = 2x.dx + 2y.dy
Donc dr = (x/r).dx + (y/r).dy = cos θ dx + sin θ dy
Or dr = ∂r/∂x dx + ∂r/∂y dy.
Donc, et c'est là que je trouve ça super curieux, ∂r/∂x = cos θ et ∂r/∂y = sin θ.
Car ça voudrait dire que ∂x/∂r = ∂r/∂x et ∂y/∂r = ∂r/∂y.
Et dans ce cas là je ne sais plus si on peut dire que ∂x/∂r = 1/(∂r/∂x),
mais si c'est vrai alors ducoup on aurait forcément ∂x/∂r = ∂r/∂x = 1 et ∂y/∂r = ∂r/∂y = 1, et là ça n'a pas de sens.
Pouvez-vous m'éclairer sur ce sujet?
Merci

[gg0]

Bonjour.

je ne sais plus si on peut dire que ∂x/∂r = 1/(∂r/∂x),

Non, il n'y a aucune raison de le dire, il ne s'agit pas de fractions.

Cordialement.

[invite394a49e7]

Bonjour et merci pour cette réponse.
Je sais bien que ce n'est pas une division, mais je suis étudiant en physique et en thermodynamique on fait souvent cette transformation.
J'ai réussi à retrouver la démonstration ici: (paragraphe 1.3)
http://gte.univ-littoral.fr/workspac..._theo_poly.pdf
Mais en regardant cette démonstration je remarque que les deux dérivées partielles sont définies avec la même variable en indice (z) or ici je ne les ai pas mis mais les indices seraient (∂x/∂r)_θ et (∂r/∂x)_y ... donc pas les mêmes, ce qui expliquerait pourquoi on ne peut dire que l'un est l'inverse de l'autre.

Mais même sans ça, ce n'est pas choquant d'avoir ∂x/∂r = ∂r/∂x et ∂y/∂r = ∂r/∂y ?

[gg0]

Pourquoi serait-ce choquant ?

Par contre, ce qui serait choquant, c'est d'utiliser la formule fausse ∂x/∂r = 1/(∂r/∂x).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite394a49e7]

Non c'est vrai que ça n'a pas à être choquant.
Merci beaucoup de m'avoir éclairé a ce sujet !
Cordialement