intégrale positive

[Gumus07]

Bonjour,
j'aimerai comprendre pourquoi a-t-on que:

si
, alors
avec un espace mesuré

Merci pour votre aide
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[Jedoniuor]

Bonjour,
C'est "f est positive m-presque partout" que l'on a comme conclusion. Je suppose aussi que votre espace mesuré est standard.

Méthode (schéma uniquement): Soit



Les B_n sont dans la tribu parce que votre fonction f est mesurable.

Utilisez votre hypothèse, et majorez f par -1/n sur B_n. Je vous laisse en conclure que m(B_n)=0.

Donc l'ensemble , qui est réunion dénombrable des B_n est dans la tribu et aussi de mesure nulle.

Cordialement.

[Gumus07]

Bonjour,
votre explication est parfaite,je comprends très bien , merci beaucoup pour votre aide

cependant j'ai une autre question, comment fais t-on pour arriver à démontrer de genre de questions , je veux dire l'idée générale à suivre?

[Jedoniuor]

Re-bonjour,

Il faut songer à utiliser les images réciproques de parties de R comme les intervalles, qui sont omniprésents dans la théorie. Vous avez peut-\^etre aussi dans votre cours le résultat suivant: Si f est mesurable positive ou nulle sur X et si l'intégrale de f sur X est nulle, alors f est nulle m-pp. Si c'est le cas, regardez sa démonstration: les idées sont les m\^emes, mais on considère les ensembles A_n où f est >= 1/n au lieu des B_n, on montre que les A_n sont de mesure nulle, et donc aussi l'ensemble A où f est >0 qui est la réunion des A_n. D'où l'intér\^et d'apprendre très bien son cours...

Si vous avez ce résultat dans votre cours, avec mes notations du message précédent, vous pouvez considérez aussi la fonction g=-f1_B, (1_B fonction caractéristique de B)qui est >=0 sur X (et nulle en dehors de B), et que vous montrerez facilement d'intégrale nulle, et vous en déduirez de nouveau le résultat.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gumus07]

Re-bonjour,
Oui je vois maintenant, c'est à dire, il faut bien assimiler son cours et surtout les démonstrations, bien les comprendre, merci beaucoup pour votre aide
j'ai bien saisi meme cette preuve, encore une fois merci et bonne journée.


Cordialement