polynôme et application linéaire

[Minialoe67]

Bonsoir,

je n'arrive pas à terminer un exercice. pouvez vous m'aider?

On note E=R₃[X] l'ensembles des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.
On définit sur E la fonction f par
f(P)=2P-(X+1)P'+2XP''
Soit G et F les ensembles suivants:
F={bX³ + (a+b)X² - 2aX + (b-a) , (a,b) appartenant à R² }
G={P appartenant à E tel que 1 est une racine d'ordre au moins 2 de P}

1)Montrer que f est un endomorphisme.
C'est ok grâce à la linéarité et car f(P) appartient à R₃[X]

2) Donner une base et la dimension de Im(f) et de Ker(f).
base de Im(f): {f(1),f(X),f(X³)} . dim Imf =3
base de Kerf: {-1/2X² +X + 1/2}. dim ker f =1

3) vérifier que Ker(f) C F et donner une base de F, notée (P1,P2) telle que P1 appartient à Ker f.
La base de Kerf est bien incluse dans F (a=-1/2 , b=0)

Je ne sais pas quoi faire pour en donner une base.

4) Montrer que G est un sous espace vectoriel de E, en donner une base.
(on montre que G est non vide, et que aP + bQ appartient à F (P, Q 2 polynômes de F) ? comment ? comment donner une base?)

5) Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. (faut-il montrer que l'intersection est vide, si oui, comment?)


Pouvez vous me donner des indications pour 3) 4) et 5)

Merci
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[Seirios]

3) vérifier que Ker(f) C F et donner une base de F, notée (P1,P2) telle que P1 appartient à Ker f.
La base de Kerf est bien incluse dans F (a=-1/2 , b=0)

Je ne sais pas quoi faire pour en donner une base.

Remarque que .

4) Montrer que G est un sous espace vectoriel de E, en donner une base.
(on montre que G est non vide, et que aP + bQ appartient à F (P, Q 2 polynômes de F) ? comment ? comment donner une base?)

Tu peux utiliser le fait qu'un polynôme a 1 comme racine de multiplicité au moins deux ssi il est divisible par .

5) Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. (faut-il montrer que l'intersection est vide, si oui, comment?)

Il faut montrer que et . Tu devrais avoir les idées plus claires une fois les questions précédentes résolues.

[Minialoe67]

x²-2x-1 et x³+x²+b sont alors les constituants de la base question 3.

pour la 4, je ne vois pas....

[Minialoe67]

Pour la 4) j'arrive a montrer que l'intersection est vide (car un élément de F n'est pas dans G et vice versa) (je pense que vous avez mal tapé, l'intersection doit être nulle) mais je vois pas comment on montre que F+G=E...

Pour la 3) j'ai finalement trouvé que c'est un sous espace vectoriel mais est-ce que la base est (x-1)²?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour la 4, un argument de dimension suffit. Quelle est la dimension de F+G ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour la 3) j'ai finalement trouvé que c'est un sous espace vectoriel mais est-ce que la base est (x-1)²?

Non, ... G n'est pas de dimension 1 !

Indice : Les vecteurs de G sont de la forme (X-1)²(aX+b)

[Minialoe67]

la base c'est {X,1}

Pour l'argument de dimension
dim F = 2? car sa base est formée de 2 polynomes P1 et P2
dim G = 2 ? car sa base est formé de 2 polynomes 1 et X

et dim F + dim G = dim R3[x] = 4

[PlaneteF]

la base c'est {X,1}

Ben non, pas du tout, ... le vecteur (X-1)² par exemple appartient à G, et il n'est pas généré par {X, 1}, et en plus les 2 vecteurs X et 1 n'appartiennent même pas à G !