Cet ensemble est il IR ?

[invited30c9e98]

Bonsoir,
J'aimerais savoir si l'ensemble E= { x/ ils existent r rationnel et une application f de Q dans Q tel que x= sup {s rationnels tels f(s)<r } } est IR, ou plus grand que IR ? Il peut avoir comme cardinal Q^Q ? f peut être assez "complexe" comme f: (u,v) associe a(u,v)/b(u,v) où a et b sont des applications quelconques de ZxZ dans Z.
Les construction classiques de IR décrivent tous les abscisses d'une droite graduée ? En clair a t on oublié des nombres ? A ce moment ces nouveaux nombres (E par exemple) n'ont pas tous un développement décimal.
On montre facilement que E est commutatif pour + et x.
Merci à tous
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[gg0]

Bonjour.

Ton ensemble est mal défini :
E= { x/ ils existent r rationnel et une application f de Q dans Q tel que x= sup {s rationnels tels f(s)<r } }
C'est quoi x ?

Un ensemble est défini soit comme sous-ensemble (, soit en extension (énumération de ses éléments), soit par une opération entre ensembles déjà définis.

"x= sup {s rationnels tels f(s)<r }" est aussi sans signification car on ne sait pas dans quel ensemble est pris le sup. par exemple pour f(s)=s², dans Q le sup n'existe pas. Dans quel ensemble faut-il le prendre ?

D'autres idées :
*"Les construction classiques de IR décrivent tous les abscisses d'une droite graduée ?" Oui, puisque la droite graduée est définie à partir de
* "En clair a t on oublié des nombres ? " Oui, par exemple la plupart des complexes. mais d'une certaine façon, est complet.
* "ces nouveaux nombres (E par exemple) n'ont pas tous un développement décimal" ??? Pour l'instant, difficile de te croire puisqu'on n'a pas de définition claire de "ces nouveaux nombres"
* "On montre facilement que E est commutatif pour + et x." ?? C'est quoi + et x dans E ? Je connais dans [TEX]\mathbb R[/TEX et dans [TEX]\mathbb R[/TEX, mais il faudrait les définir pour les éléments (toujours fictifs, faute de définition) de E.

Donc commence par définir vraiment E.

Cordialement.

[invited30c9e98]

Je pense que mon ensemble E est bien définie. Quand on définie IR on le fait ainsi. x est un élément de E. Exemple rac(2) = sup { r rationnels tels que f(r) < 2 } avec f(r) = r².
Vous dite que la droite graduée est définie à partir de IR, mais on définie l'ensemble des réels comme limites de suite de cauchy de rationnels ou alors par le sup { r rationnels tels que r<x}. Et je ne connait pas de démonstration qui montre qu'on obtient toutes les abscisses d'une droite graduée ( si oui je suis preneur). C'est vrai que IR est complet, mais y a t il un ensemble plus grand qui le contient ?
Je prends le sup dans le plus grand ensemble possible.
Cordialement

[gg0]

Désolé,

mais dire x est un élément de E alors que E est l'ensemble des x ne dit rien.

"Quand on définie IR on le fait ainsi." Non ! Dans la définition par la méthode de Dedekind, c'est un ensemble de coupures; dans la définition par les suites de Cauchy c'est une ensemble de classes d'équivalence. Il n'y a que la présentation comme corps archimédien totalement ordonné et complet qu'on ne définit pas IR. Mais justement, on ne le définit pas, et il manque la preuve de l'existence d'un corps ayant ces propriétés.

"Je prends le sup dans le plus grand ensemble possible." ??? Qui est ???
Comme tu n'as que Q à ta disposition, tu prends le sup dans Q et il n'existe pas !

Bon inutile de continuer, comme tu n'as rien défini, tu parles dans le vide...

Sinon, pour la droite graduée, voir géométrie affine (ici en dimension 1) ou un traité axiomatique de la géométrie. Et pour "y a t il un ensemble plus grand qui le contient ?" tu connais la réponse : Tous les ensembles qui le contiennent (il y en a une infinité !). Par exemple l'ensemble . Il y a même un corps commutatif que tu connais et qui contient

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited30c9e98]

Je ne préfère pas répondre au dernier message. Tout est faux dans ce qu'il dit !

[gg0]

Jeromath.pi,

quand tu sauras faire des maths correctement, tu pourras juger des propos des autres. j'avais été sympa avec toi bien que tes messages contiennent des incompréhensions manifestes et de ce que c'est que , et de comment on prouve, mais je dois te le dire : Tu n'as qu'une idée très lointaine de ce dont tu parles, tu n'y connais rien, tu as seulement vu de loin des présentations que tu n'as pas comprises.

Mais comme il est impossible de faire boire l'âne qui n'a pas soif, reste sur tes idées fausses.

Adieu

[Seirios]

Je ne préfère pas répondre au dernier message. Tout est faux dans ce qu'il dit !

Désolé de te dire que gg0 a raison : ce que tu décris dans ton premier message n'a pas de sens mathématiquement, notamment parce que tu ne précises pas dans quoi tu travailles. Tu considères des bornes inférieures sans préciser dans quel ensemble tu les prends.

[invited30c9e98]

En fait E est une partie de IR ou + l'infini puisque toute partie majorée de IR admet une borne sup.

Je propose une autre définition de E:


Effectivement toute partie majorée de IR admet une borne sup. On peut construire IR avec les ensembles S(r)={ s rationnels tels que s< r} (r dans Q) et après on démontre l'existence d'un morphisme croissant j de corps de Q dans IR (dont la restriction à Q est en fait l'identité) tel j(Q) est dense dans IR et qui conserve la borne sup et tel x= sup { r dans Q tels que j(r)< x}.x est donc dans IR.
Mais que se passe t il si on prend au début de la construction S(r) ={ s rationnels tels que f(s) < r} avec f application de Q dans Q ? Obtient on une partie de IR ? Et quand f décrit l'ensemble des applications de Q dans Q ? que décrit E ?

[Seirios]

On peut construire IR avec les ensembles S(r)={ s rationnels tels que s< r} (r dans Q)

Pourrais-tu expliciter la construction ?

[invited30c9e98]

D'abord je dois des excuses à "gg0". Mon premier ensemble E était effectivement mal construit, c'était en fait une partie de IR barre.
J'ai pris la construction de IR dans le nouveau livre "Les objets fondamentaux en mathématiques, les nombres" de M. Grangé (chez ellipses).
Il commence par définir les sections commençantes ouvertes (s.c.o), partie de Q définie par 3 propriétés où il utilise des inégalités "simples" ( du type r< s r et s dans une s.c.o ou Q, c'est assez long de l'énumérer ) Il montre que les s.c.o muni d'une relation d'ordre ( l'inclusion ici) est un ensemble tel que tout sous ensemble non vide et majoré admet une borne supérieure et que pour tout S et S' s.c.o tels que S< S' il existe r dans Q tel que S<S(r)<S'.
Après plusieurs pages de construction, Il démontre que pour un corps IK tels que toutes parties non vide majorée ait une borne supérieur, il existe un homomorphisme j dont j'ai déjà parlé.
A mon avis si on remplace r<s par f(s)< r, avec f application de Q dans Q, on obtient IR ou une partie de IR si f est continue ou croissante, mais si f est discontinue, c'est un autre ensemble qui n'a rien à voir avec IR et non un ensemble qui le contiendrait comme je l'avais pensé.
La définition des s.c.o est assez laborieuse. J'espère que je n'ai pas été trop non clair ! mais cette construction de IR est longue et ardue.

[gg0]

Ok pour tes excuses.

si on remplace r<s par f(s)< r, avec f application de Q dans Q

la suite de la construction est-elle possible ? Car la construction du bouquin de Grangé fourmille de détails qui sont nécessaires. D'ailleurs, tu n'as pas dit qui sont les réels dans cette construction. Pourtant, à un moment donné, c'est parfaitement défini. Ni comment on retrouve les rationnels parmi ces réels.

Donc modifier la définition, pourquoi pas, mais alors vérifie si la suite est possible. par exemple si la notion de section commençante existe encore.

Mais si tu ne comprends pas parfaitement l'ensemble de la construction de que tu as vue, tu arriveras mal à la modifier de façon utile.

Cordialement.

NB : la construction que tu évoques n'est pas arrivée "comme ça", elle est le fruit d'une forte réflexion de mathématiciens. Sauf erreur de ma part, c'est une présentation moderne de l'idée de "coupure" de Dedekind.

[Elie520]

Bonsoir,

La question posée est donc : Que vaut .
Réponse :

Démonstration :

Clairement, est dans .

Mantenant, soit (la fonction qui a associe est bijective). On pose alors pour tout : . Alors et est strictement croissante.
Et on a : Pour tout

.
.

Cordialement.

Elie520.

[Elie520]

EDIT: : désolé mais ma fonction n'est pas du tout a valeur dans , je ne sais pas ce qui m'a pris ^^ (surement la fatigue ). D'ailleurs, si cela était vrai on aurait une injesction de dans ....

Bref, oubliez

[Elie520]

Par contre, toujours pour des fonctions discontinues :
Si , on a

et toujours

[invited30c9e98]

L'erreur est humaine...
Merci de ta contribution !