base / famille libre

[invite4c80defd]

Bonjour a tous,
Je vous contacte aujourd'hui car je rencontre un probleme dans la résolution d'un exercice
je dois démontrer que B={f1,f2,f3} est une base de E={alpha*f1+béta*f2+gamma*f3)
on a f1(x)=cos(x), f2(x)=cos(2x) et f3(x)=cos(3x)

je pensais donc montrer que B est libre et génératrice de E
pour le fait qu'elle soit génératrice, le travaile est déjà fait mais je n'arrive pas a montrer la liberté
Il me faut montrer que alpha*f1+ bêta*f2+gamma*f3=0 implique que f1=f2=f3=0
mon prof m'a conseillé de prendre des valeurs particulieres de x pour le montrer.
voila où j'ne suis:
si x=pi/2, alors cos(x) e cos(3x) s'annulent et donc il reste béta*cos(pi) =0 ce qui implique que -béta=0 ce qui implique : béta=0
mais je n'arrive pas a le faire pour les autres cas

Merci pour vos conseils
-----

[invite179e6258]

tu sais déjà que beta=0 donc le système devient plus simple.

[gg0]

Pour avoir 3 valeurs, il faut trois équations. Il te suffit de prendre des valeurs classiques entre 0 et Pi/2 pour y arriver.

"prendre des valeurs". Tu n'en as pris qu'une seule ???

Attention :
"Il me faut montrer que alpha*f1+ bêta*f2+gamma*f3=0 implique que f1=f2=f3=0" ???
Il me faut montrer que alpha*f1+ bêta*f2+gamma*f3=0 implique que alpha=bêta=gamma=0

[invite4c80defd]

euh oui , excusez-moi c'est bien alpha=béta=gamma=0 et non pas f1=f2=f3=0,je me suis trompé en écrivant l'égalité
, dsl

si béta =0, alors, on simplifie:
on a donc alpha*cos(x) + gamma* cos(3x) =0
mais si je prend pas exemple x=pi/2, les deux s'annulent : pi/2 ne permet pas de conclure
en 0: les cos(x) vaut 1 et cos(3x) vaut ...une valeur non nulle aussi donc....
j'ai l'impression que pour n'importe quel x, l'un ne s'annulera pas sans l'autre....

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Avec pi/2 et 0, ça te fait 2 cas ...

"en 0: les cos(x) vaut 1 et cos(3x) vaut .. " Combien ? C'est assez évident. Donc tu obtiens ....
Et pourquoi "les cos(x)" ? il y a plusieurs cosinus de 0 ?
Et avec une autre valeur ....

Un peu de volonté de faire est demandée ....

[PlaneteF]

Bonsoir,

j'ai l'impression que pour n'importe quel x, l'un ne s'annulera pas sans l'autre....

1) Ton impression est fausse ;

2) Quand bien même elle serait juste, je ne vois pas en quoi cela poserait un quelconque problème : Tu as juste besoin de 2 équations en et pour conclure.

[invite4c80defd]

et bien si j'étudie le cas x=pi, alors j'obtiens la relation alpha=-gamma
il faut considérer un troisieme cas:
j'ai pris x=0 mais j'ai obtenu la meme relation, je ne suis donc pas avancé ?
(il n'y a qu'un seul cos(x), excusez le "les")

[PlaneteF]

et bien si j'étudie le cas x=pi, alors j'obtiens la relation alpha=-gamma
il faut considérer un troisieme cas:
j'ai pris x=0 mais j'ai obtenu la meme relation, je ne suis donc pas avancé ?
(il n'y a qu'un seul cos(x), excusez le "les")

Rappel du tuyau donné par gg0 dans le message #3 :

Pour avoir 3 valeurs, il faut trois équations. Il te suffit de prendre des valeurs classiques entre 0 et Pi/2 pour y arriver.

[invite4c80defd]

j'ai essayé avec pi/4, du coup, le cos vaut racine(2)/2 mais le cos (3pi/4), je ne sais pas trop quoi en faire ...

[PlaneteF]

(...) mais le cos (3pi/4), je ne sais pas trop quoi en faire ...

Check a unit circle!

Sérieusement, le cercle trigo, çà ne te dit rien ?!!

[PlaneteF]

Sinon te permet de conclure très facilement, ... et encore plus facilement !

[invite4c80defd]

ah oui en effet: pi/6 est tres efficace et tres rapide !

Merci beaucoup à tous !

[invite4c80defd]

Je profite de votre aide pour vous poser encore une ou deux questions.
Je dois, dans un exo, déterminer une base d'un SEV un peu particulier:
E est l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y"+ay'+by=0 avec x appartenant à R (il n'y en a pas dans l'expression, ce n'ets pas une faute de frappe cette fois).
Il faut considérer le cas où a^2-4b>0, c'est - a dire le cas où les solutions sont de la forme : alpha *exp(r1*t) +béta*exp(r2*t) avec r1 et r2 les solutions de l'équation caractéristique.
je dois trouver une base de E et sa dimension (puis donner une famille génératrice de E dans le cas a^2+4b<0 ou =0)
Comment je peux trouver une base ? il me faut des elements de E pour en trouver (dans l'exo précédent, ils étaient donnés mais là...).

Merci pour vos conseils !

[gg0]

Si tu sais déjà que les solutions sont de la forme alpha *exp(r1*t) +béta*exp(r2*t) , tu as ta base déjà donnée, non ? Puisque tous tes éléments sont engendrés par 2 fonctions.
Par contre, si tu ne le sais pas, tout dépend des outils que tu as (problème de Cauchy : deux conditions initiales, donc ...; autre ...)

Cordialement.

[invite4c80defd]

il est juste noté a et b appartenant à R, on considere E l'ensemble des solutions de l'équation diff.....
vous dites que mes éléments sont engendrés par deux fonctions ? dsl je ne comprend pas trop.

[invite4c80defd]

pour ce qui est de Cauchy avec les conditions initiales....rien n'est précisé sur l'énoncé

[gg0]

Sérieux ?

ça fait combien de temps que tu travailles sur des parties génératrices ? Sur des espaces engendrés par... ? Et tu ne reconnais pas des éléments engendrés quand tu as une combinaison linéaire ? Avec des coefficients encore appelés alpha et beta ? Comme dans l'exercice précédent.

Il faudrait peut-être enfin comprendre la linéarité.

Allez, fais fonctionner tes cellules grises.

[invite4c80defd]

ah oui c'est vrai ! je ne l'avais pas remarqué !
Donc, en montrant que les deux focntions forment une famille libre, le tour est joué!
Mais, alors pour la question suivante, on me demande une famille génératrice de E si le discriminant est nul ou négatif, mais connaissant les solutions des équa diff dans ces cas, j'ai aussitot des familles génératrices

Merci