Montrer qu'un ensemble est un corps

[invite4a9059ea]

Bonjour tous le monde ;

Je me permet de reprendre cette discussion car j'ai essayé de traiter la question mais j'ai rencontré un problème et je me demande si ça vient de moi ou de l'énoncé qui est peut être érroné ...

A = {(x,y) et x,y }

la loi + : (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y')

la loi * : (x,y) * (x',y') = (xx'+2yy',xy'+yx')

Montrer que (A,+,*) est un corps

Voilà comment je pensais m'y prendre , je veux arriver à montrer tout d'abord que (A,+,0,*,1) est un anneau et ensuite je veux montrer que tout éléments non nuls de l'anneau est inversible par * ce qui permet de conclure à priori !

Tout d'abord je considère (A,+,e) aprés calcul de l'élément neutre je trouve que e=0 et je montre que (A,+,0) est un groupe abélien ou groupe commutatif .
Maintenant je veux montrer que (A,*,e') est un monoïde ou semi-groupe et j'ai un problème avec le neutre je suis censé montrer que e'=1 et je n'y arrive pas !

Cordialement
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[inviteea028771]

Le neutre de la loi * est (1,0)

[invite4a9059ea]

Bizarre j'ai du mal !

je suis bien censé montrer que (xe'+2ye',xe'+ye') = (x,y) et en déduire la valeur de e' ?

[Tiky]

Bonjour,

Déjà ton élément neutre est un couple. Tu pense que c'est (1, 1) ? Il faut croire que non.
La technique pour le trouver est simple. Il suffit de résoudre les équations :
xx' + 2yy' = x
xy' + yx' = y

Évidemment il faut que la solution trouvée ne dépende pas de (x,y).

Le couple (1, 0) convient. On s'en assure :
(x, y).(1, 0) = (x + 2.y.0, x.0 + y) = (x, y)
(1, 0).(x, y) = (x + 2.y.0, y + x.0) = (x, y)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Ce que tu écris n'a aucun sens... Il faut que tu montres que :

(1,0)*(x,y) = (x,y)
(x,y)*(1,0) = (x,y)

C'est à dire :
(x*1 +2*y*0, x*0 + 1*y ) = (x,y)

Ce qui est absolument immédiat.

[Médiat]

je suis bien censé montrer que (xe'+2ye',xe'+ye') = (x,y) et en déduire la valeur de e' ?

Bonjour,

D'abord, vous n'arriverez pas à démontrer qu'un ensemble est un corps, puisqu'un corps est un ensemble muni de deux lois de composition internes.
Ensuite ce que vous êtes censé montrer, c'est que pour un certain (e, f) à déterminer :

[invite4a9059ea]

oui d'ailleurs rectification j'ai montrer que (A,+,(0,0)) est un groupe abélien ....

ensuite moi j'obtiens ce système là

xe'+2ye' = x
xe'+ye' = y

résoudre et trouver que e'=(1,0) ça me saute pas aux yeux ...

[invite4a9059ea]

Bonjour Médiat

je souhaite tout d'abord montrer que (A,+,(0,0),*,(e',e'')) est un anneau ....

Cdt

[Tiky]

Ton système n'a aucun sens, tu sommes des couples pour obtenir un réel... regarde celui que j'ai proposé. C'est juste un système linéaire en x' et y' !

[Médiat]

Bonjour Médiat

je souhaite tout d'abord montrer que (A,+,(0,0),*,(e',e'')) est un anneau ....

Cdt

Ce qui ne change rien à ce que j'ai écrit.

Pour votre système qui est toujours faux, prenez plutôt celui que je vous ai proposé (ou Tiky), il doit être vérifié pour tous les x et tous les y, à vous de choisir des exemples qui simplifie le système (mais cela ne suffira pas)

[invite4a9059ea]

je vais suivre la méthode de Médiat mais avec e' et e'' et voir si je m'en sort :

soient e',e'' A tel que : (x,y)*(e',e'') = (xe'+2ye'',xe''+ye') = (x,y) ...

et je vais essayer de trouver e' et e'' ...

[invite4a9059ea]

je me retrouve avec e''= 0 ce qui implique des conditions sur x,y à priori ?

[Tiky]

Tu te prends la tête pour rien. L'objectif du système est de trouver une condition nécessaire sur (e', e'') pour qu'il soit élément neutre de l'anneau.
Tu sais que s'il est élément neutre de l'anneau, alors :
xe' + 2ye'' = x
ye' + xe'' = y

Et cela pour tout couple (x,y).

Prends x=y=1. Tu as alors le système :
e' + 2e'' = 1
e' + e'' = 1

Dont l'unique solution est (1, 0).
Donc (1,0) est l'unique candidat pour être élément neutre.
C'est inutile de résoudre le système pour tous les couples (x,y).

[invite4a9059ea]

très bien maintenant il me reste à montrer l'associativité de * pour montrer que (A,*,(1,0)) est un monoïde et ensuite montrer que l'on a la distributivité de + par rapport à * pour montrer que (A,+,(0,0),*,(1,0)) est un anneau ... c'est bien celà ?

[invite4a9059ea]

Pour montrer que * est associative , on doit montrer que pour tout (x,y),(x',y'),(x'',y'') appartenant à A on a :

((x,y)*(x',y')) * (x",y") = (x,y) * ((x',y'))*(x",y"))

Aprés calcul on constate qu'on a bien l'égalité donc * est associative et on en déduit que (A,*,(1,0)) est bien un monoïde .

Je considère l'ensemble (A,+,(0,0),*,(1,0)) et je veux montrer que la loi + distribue par rapport à *

soient (x,y),(x',y'),(x'',y'') appartenant à A :

Si (x,y) * ((x',y')+(x",y")) = (x,y)*(x',y') + (x,y)*(x",y")

et ((x',y')+(x",y")) * (x,y) = (x',y')*(x,y) + (x",y")*(x,y)

Alors on a la distributivité de la loi + par rapport à la loi *
Aprés calcul on constate qu'on a bien les 2 égalités .

On a donc montré que (A,+,(0,0)) est un groupe abélien que (A,*,(1,0)) est un semi-groupe et que la loi + distribue
par rapport à la loi * , on en conclut que (A,+,(0,0),*,(1,0)) est un anneau .

Maintenant il nous reste à montrer que (A,+,(0,0),*,(1,0)) est un corps .

Pour celà il faut montrer que pour tout appartenant à l'anneau (A,+,(0,0),*,(1,0)) il existe (x',y') appartenant à l'anneau tel que : (x,y) * (x',y') = (1,1)

celà nous conduit à (xx'+2yy' , xy'+yx') = (1,1)

je trouve avec les conditions et .

Donc tout élément (x,y) non nul de l'anneau et vérifiant est inversible par la multiplication * , ce qui nous permet de conclure que (A,+,(0,0),*,(1,0)) ou (A,+,*) est un corps pour ces éléments .





(Sauf erreur de ma part ....)

[Médiat]

ce qui nous permet de conclure que (A,+,(0,0),*,(1,0)) ou (A,+,*) est un corps pour ces éléments .

Ceci ne veut rien dire !
Ou (A,+,*) est un corps ou ce n'est pas un corps !

[invite4a9059ea]

Quelle est la conclusion de l'exercice s'il vous plait ?

Pour ma part je ne sais plus quoi penser ...

Cdt

[Médiat]

Bonsoir,

Est-ce que a un inverse ?

Remarque 1 : votre calcul "d'inverse" est faux
Remarque 2 : en général cet exercice est généralement donné avec