Montrer qu'un ensemble n'admet pas de BS dans Q

[invite2ec0a62b]

Bonsoir,
l'énoncé d'un exo est le suivant
soit A={r/ r² } Montrer que A n'admet pas de borne sup dans Q
J'ai procédé comme suit : je démontre que est un majorant de A puis que c'est supA en utilisant la caractérisation de la BS, puis dire que puisque n'appartient pas à et que la BS est unique alors A n'admet pas de BS ds Q
Mais je bloque quand je veux démontrer la caractérisation, j'ai essayé d'utiliser le caractère archimédien de sur mais je ne vois pas comment prendre le y, bref je suis perdue, pouvez vous me donner un indice ...
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[invite2ec0a62b]

Personne ???

[invitea0db811c]

bonjour,

Au hasard, Q est dense dans R ? ^^

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Vous devez montrez que √2=sup(A). Comme vous avez déjà montré que c'est un majorant de A il vous suffit de montrer qu'il existe des éléments de A aussi proche de √2 que vous voulez.
Pour ça il vous suffit d'expliciter une suite d'éléments de A qui converge vers √2.

Vous pouvez le faire en utilisant le développement décimal de √2.
u₀=1
u₁ est la première décimale du développement de √2
u_n la n-ème décimale...

Ensuite v₀=u₀ et pour un entier n on définit

Je pense que vous devriez pouvoir vous débrouiller à partir de là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec0a62b]

montrer qu'il existe des éléments de A aussi proche de √2 que vous voulez équivaut à fixer un epsilon et à prouver l'existence d'un x de A tq √2 - < x < √2
On nous a jamais parlé de suite qui devrait converger vers la borne sup