Montrer qu'un ensemble n'est pas un ouvert

[inviteec33ac08]

Bonjour,
Soit E le R-ev des applications continues bornées de R dans R muni de la norme infini.
Je dois montrer que U={f € E/ pour tout x réel, f(x)>0 } n'est pas un ouvert dans E,
Voila j e compte prendre une boule ouverte de centre f et montrer qu'elle n'est pas dans U est ce une bonne idée ou y a t-il une meilleure méthode ?

De plus j'aimerai savoir si on peut savoir "directement" si c'est une partie est ouverte ou non (respectivement fermée) c'est à dire sans faire de démonstration ?

Merci.
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[invitea0db811c]

Bonsoir,
c'est une bonne idée. Reste à savoir quelle f tu compte prendre !

[inviteea028771]

De plus j'aimerai savoir si on peut savoir "directement" si c'est une partie est ouverte ou non (respectivement fermée) c'est à dire sans faire de démonstration ?

Si tu fais des maths, tu fais forcément des démonstrations. "montrer que" veut en fait dire "démontrer que"

Après ces démonstrations peuvent s'appuyer sur des théorèmes déjà démontrés (on ne réinvente pas la roue à chaque fois), la démonstration peut donc être très courte, mais c'est quand même une démonstration
(a part peut être si tu as une union d'ouverts, et que tu as défini les ouverts de façon générale et pas avec la notion de boules ouvertes)

Sinon, pour ton problème, je le ferrai de la façon suivante :
1) je choisi une fonction f sympathique dans U (que doit vérifier f pour être sympathique ici?)
2) je pose un rayon r quelconque
3) je construis une fonction g_r qui est dans la boule ouverte de centre f et de rayon r mais pas dans U
4) ????
5) Profit !

[inviteec33ac08]

Merci de vos réponses . En fait Tryss, quand je veux dire voir directement c'est par exemple dans la théorie des ensemble il suffit de dessiner pour ce rendre compte de l'évidence ce qui peut servir par exemple si on me demande si tel ou tel ensemble est ouvert ou fermé je sais directement s'il est fermé ou ouvert et je le montre par une démonstration alors que la j'ai un peu du mal en fait on vient de voir pas mal de nouvelles notions. Sinon pour en revenir au sujet après avoir réfléchit je penserai à une fonction constante positive ou bien alors à la fonction x:->1/(1+x²) Etes vous d'accord ? Elle vérifient en tout cas le fait d'être positive et bornée. Je vais maintenant essayer de faire ce que tu m'a dit Tryss. Sinon quelqu'un aurait une autre idée de fonction histoire de me familiariser avec ces nouvelles choses ?

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

La fonction f: x->1/(1+x²) convient bien.
On pourrait aussi utiliser la fonction g: x->arctan(-x)+pi/2.

Les fonctions constantes positives par contre ne permettent pas de résoudre le problème (essaye de voir pourquoi).

[invite986312212]

autre preuve : tu considères la suite de fonctions fn telle que sur fn((-infini,1])={1}, fn(x)=1/x sur [1,n], fn([n+1,+infini))={0} et fn décroit linéairement de 1/n à 0 entre n et n+1, de façon à avoir des fonctions continues. La suite (fn) est dans le complémentaire de U et converge vers la fonction égale à 1 sur (-infini,1] et 1/x sur [1,+infini) qui est dans U. Ainsi le complémentaire de U n'est pas fermé et U n'est pas ouvert.

[invite986312212]

De plus j'aimerai savoir si on peut savoir "directement" si c'est une partie est ouverte ou non (respectivement fermée) c'est à dire sans faire de démonstration ?

sinon, pour montrer qu'une partie d'une espace topologique est ouverte on peut par exemple :
- montrer que c'est une réunion d'ouverts (de boules ouvertes par exemple)
- montrer que son complémentaire est fermé (dans les espaces métrisables on peut raisonner sur des suites ce qui est souvent plus facile)
- exhiber une application continue et montrer que la partie en question est image réciproque par cette application d'un ouvert.

[invitecea53826]

Bonjour,
Tu peux prendre le complémentaire de ton ensemble, et de montrer qu'il est ouvert.
C'est plus facile.

[inviteea028771]

Bonjour,
Tu peux prendre le complémentaire de ton ensemble, et de montrer qu'il est ouvert.
C'est plus facile.

C'est loin d'être plus facile, puisque le complémentaire de U n'est pas un ouvert

Démonstration :
La fonction nulle appartient au complémentaire de U, donc si cet ensemble est ouvert, pour tout r>0 alors f dans U implique d(f,0) > r. (f n'est pas dans la boule de centre 0 et de rayon r)
Pour tout r>0 la fonction f: x->r/2 est dans U, et d(f,0) = r/2 < r, ce qui est contradictoire.

Ainsi le complémentaire de U n'est pas ouvert

Remarque :
Pour montrer que U n'est pas ouvert, on peut aussi montrer que le complémentaire de U n'est pas fermé, c'est à dire qu'il existe une suite d’éléments fn du complémentaire de U qui converge vers f appartenant à U.

On peut par exemple étudier la suite fn: x-> 1/(1+x²) -1/(1+n²)

[inviteec33ac08]

Bonsoir,
Désolé de ne pas avoir pu répondre un peu plus tôt, ds de physique oblige bref, donc je suis en train d'essayer d’utiliser la fonction 1/(1+x²) et me vient l'idée de fixer un epsilon aussi petit soit il tel que on puisse considérer l'application g=f-epsilon/2 je montre que g appartient a la boule ouverte de centre f et de rayon epsilon mais que g(x) prend des valeurs négatives donc U n'est pas un ouvert de E. Est ce bon comme cela ? Par contre je n'ai pas compris pourquoi cela pose un problème d'utiliser une fonction constante strictement positive ?

De plus, merci pour vos réponses, mais j'ai toujours le même problème en fait , par exemple si on m'avait posé une question plus ouverte du genre est ce un ouvert, fermé comment aurait t-il fallu que je procède ?

Merci encore à vous

[invite986312212]

De plus, merci pour vos réponses, mais j'ai toujours le même problème en fait , par exemple si on m'avait posé une question plus ouverte du genre est ce un ouvert, fermé comment aurait t-il fallu que je procède ?

je ne sais pas s'il y a une méthode générale pour deviner la réponse à une question mathématique. Mais quand on ne devine pas, on essaie toutes les possibilités: là il n'y en a que trois: ou bien U est ouvert ou bien il est fermé ou bien ni l'un ni l'autre. En général quand on essaie de montrer quelque-chose de faux, on finit par arriver à une contradiction, ou en tout cas on développe une intuition.