Bonjour à vous
Pas de dernier jour de l'année sans travailler! J'ai besoin d'aide sur cet exercice, un petit coup de pouce je n'arrive pas à partir....
E evn de dimension finie, O ouvert de E et f une forme linéaire sur E non nulle.
Je dois montrer que f(O) est un ouvert de R.
Merci à vous
Salut,
Toute application linéaire en dimension finie est continue.
Bonjour,
Je sais ça et je comptais bien partir la dessus, mais je n'arrive pas tellement à le mettre en forme en fait, c'est la rigueur dans la rédaction qui me manque...
Et en regardant rapidement sur internet, j'ai vu des théorèmes disant que l'image d'un ouvert par une a.l continue est un ouvert (à quelques choses près)
mais nous ne les avons pas vu en cours!
je croix qu il ne suffit pas çaEnvoyé par mimo13
Salut,
Toute application linéaire en dimension finie est continue.
c'est vrais pour l'image réciproque je ponce et pas pour limage directe
Voila ce que j'ai fait :
Soit y dans f(O), x dans O.
il existe epsilon>0/B(x,epsilon)={a dans O/ ||x-a||<epsilon} inclus dans O.
or ||f(x-a)|| <= k||x-a|| < kepsilon donc posons epsilon'=kepsilon>0.
On a x-a dans O et f(x-a) dans f(O).
Et là je suis un peu bloquée...
Attention, je n'ai jamais dis que c'était suffisant.
Dire que c'est continue car c'est l'image d'un ouvert par une application continue est faux.
En fait, on peux procéder de deux façon, soit de la définition d'un ouvert, et utiliser la continuité, soit montrer que le complémentaire de f(O) est fermé.
Que penses-tu du début de mon raisonnement mimo?
Soit y dans f(O), on veut montrer que y admet un voisinage inclu dasn f(O).
comme y est dans f(O), il existe un x dans O tel que f(x)=y
O étant ouvert, il existe r tel B(x,r) est inclu dans O. je te laisse montrer que f(B(x,r)) est un voisinage de y=f(x)...
Ce que tu as écrit jusqu'à maintenant est bon.
Remarque qu'on a pas encore utilisé que f est une forme linéaire.
pour enchainer sur ce qu'a dit Ksilver, B(x,r) est convexe et donc connexe par arc, or l'image de tout connexe par arcs par une application continue est un connexe par arc...
Quels sont les connexes par arcs de....
Bonjour Ksilver!
Je ne vois pas trop comment exprimer f(B(x,r)) en fait!
J'ai pas vu ça dans mes cours... Ca ne me dit rien du tout ce que tu me dis!Ce que tu as écrit jusqu'à maintenant est bon.
Remarque qu'on a pas encore utilisé que f est une forme linéaire.
pour enchainer sur ce qu'a dit Ksilver, B(x,r) est convexe et donc connexe par arc, or l'image de tout connexe par arcs par une application continue est un connexe par arc...
Quels sont les connexes par arcs de
l'argument de conexité est vraiment superflu ici !(d'autant plus, qu'il n'empèche pas que l'image soit réduite à y^^ )
essentiellement, on veut pas exprimer f(B), on veut juste montrer que c'est un voisinage de x... fais un dessin pour mieux comprendre peut-etre ? (f c'est essentiellement une projection sur une droite...)
Mais j'ai fait un dessin justement, et je ne vois pas trop...!
Enfin si je vois bien sûr, mais ça reste de la magie..
Et pourquoi donc ?
On montre que f(B(x,r)) est un intervalle contenant f(x), il suffit donc de montrer qu'il n'est pas réduit à f(x), par l'absurde, en utilisant que f est une forme linéaire, on montre que f est nulle sur E.
Ba il suffit de prendre un v tel que f(v) est différent de 0, il existe un réel e>0 tel que tel que x+e.v appartienne à notre boule, et donc tel que x+u.v soit aussi dedans pour tout |u|<e.
du coup f(x+u.v)= y+u.f(v) appartiens à f(O) pour tout |u|<e, f(v) étant non vide, ces réell forment un petit voisinage de y : le segment ]y-e.f(v),y+e.f(v)[
c'était pas si dur quand même ?
Honnêtement... J'aurais jamais trouvé ça toute seule.
Mais je comprend bien ton raisonnement.
Conclusion : f(O) est clairement un ouvert!
mimo13 :
parceque la connexité est une notion relativement compliqué par rapport à ce qu'on nous demande de prouver, (l'argument que je donne est accesible dès qu'on sait ce qu'est un ouvert, une application continu et une application linéaire ie L1/sup, alors que la connexité c'est une notion beaucoup plus subtile qu'on voit plutot L3/spé il me semble)
parceque les application linéaire préserve aussi la convexité (et que tu utilise connexe => convexe, le fait de savoir que les convexe de R sont les intervales étant quand même plus simple que de savoir que les connexe de R sont les intervalles)
enfin et surtous parceque, le fait de prouver que l'image de la boule n'est pas réduit à un point ou n'est pas d ela forme [y,b[ est à peu près aussi compliqué que l'argument que j'ai donnée pour montrer que c'est un voisinage
bien entendu, je remet pas du tous en cause la validité de ton argument, je trouve ca juste superflu d'invoquer de la connexité sur une question aussi simple...
Je suis en spé mais je n'ai pas vu ces notions pourtant!
la connexité ? ca viendra... c'est au programme, mais tu en ai encore que à la moitié de l'année ^^
(note dans le msg precedant il fallait lire "convexe => connexe" par contre ^^ )
Mmm... quel délice, et les concours déjà si près!
Merci à vous deux en tout cas, parce qu'en plus d'avoir compris mon exercice, j'ai compris beaucoup d'autres choses sur la façon de voir un exercice de topologie!
Bon réveillon
Dans ce cas, on est parfaitement d'accord.
Utiliser la connexité ici c'est utiliser un couteau pour tuer une mouche (me disait un prof !!)
En fait, c'est surtout parce que les exo durs de topologie c'est mes favoris.
Pour finir, la notion de connexité n'est effectivement pas au programme MP, mais il est tout à fait possible d'utiliser la connexité par arcs qui elle est au programme.
Merci et bon réveillon à tous.
