Montrer qu'un groupe est cyclique

[ichigo01]

Bonjour à tous !

Y a des choses que je ne comprends pas assez bien , je demande votre pour voir plus clair !

Pour montrer qu'un groupe G est cyclique , il faut montrer que :

- G est d'ordre fini
- tel que avec

On dit alors a est le générateur du groupe .

Pour le trouver je ne comprends pas :
Pourquoi il faut chercher le plus petit entier n strictement positif tel que pour dire que

Merci d'avance !
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[invitebe0cd90e]

Tu sembles confondre deux choses :
- le premier truc que tu donnes est effectivement la definition d'un groupe cyclique.
- le second truc, a vue d'oeil c'est plutot un critere pour trouver le generateur d'un sous groupe d'un groupe cyclique, ces sous groupes etant eux meme forcement cycliques.

[ichigo01]

Tu sembles confondre deux choses :
- le premier truc que tu donnes est effectivement la definition d'un groupe cyclique.
- le second truc, a vue d'oeil c'est plutot un critere pour trouver le generateur d'un sous groupe d'un groupe cyclique, ces sous groupes etant eux meme forcement cycliques.

En faite je veux montrer que le sous groupe d'une groupe cyclique est cyclique, pour le second truc , est ce qu'il y a une différence entre le générateur d'un groupe cyclique et celui d'un sous groupe ??

[invitebe0cd90e]

Vu ta question, j'avais compris que c'etait ca ton but.

Pour repondre a ta question : non,il n'y a pas de difference, je veux dire par la qu'un sous groupe cyclique de n'importe quel groupe est en particulier un groupe cyclique a part entiere. Par contre, il est evident que le generateur d'un sous groupe cyclique n'est pas le meme que le generateur du groupe entier, tu me suis ?

Prend un exemple simple, genre Z/6Z. c'est un groupe cyclique, l'un de ses générateurs est 1. Maintenant si tu regardes {0,2,4}, c'est un sous groupe cyclique de Z/6Z, dont un generateur est 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

Vu ta question, j'avais compris que c'etait ca ton but.

Pour repondre a ta question : non,il n'y a pas de difference, je veux dire par la qu'un sous groupe cyclique de n'importe quel groupe est en particulier un groupe cyclique a part entiere. Par contre, il est evident que le generateur d'un sous groupe cyclique n'est pas le meme que le generateur du groupe entier, tu me suis ?

Prend un exemple simple, genre Z/6Z. c'est un groupe cyclique, l'un de ses générateurs est 1. Maintenant si tu regardes {0,2,4}, c'est un sous groupe cyclique de Z/6Z, dont un generateur est 2.

Oui , chapeau !
et Je te suis très bien ,
Pour le Z/6Z , comment ça se fait que 1 est un générateur ? si on prend par exemple 4 il va pas s'écrire !!

Pour le premier truc , je sais que le générateur du sous groupe n'est pas forcement le même que celui du groupe , mais je vais m'en servir du générateur du groupe ( car on suppose qu'il est cyclique ) pour montrer que le s.groupe est cyclique ( en faite c'est la clé de la démonstration ) !

Merci !

[invité576543]

Pour le Z/6Z , comment ça se fait que 1 est un générateur ? si on prend par exemple 4 il va pas s'écrire !!

Le groupe est additif. On a 4 = 1+1+1+1. L'élément neutre est 0.

Cordialement,

[ichigo01]

Ah bon ! j'ai oublié que les groupe du genre Z/nZ se notent additivement ! ( il n'admet pas d'inverse pour la multiplication )

D'accord , maintenant l'image devient plus clair

Pourtant pour la démonstration , on pourrai noter le groupe additivement , comme on peut le noter multiplicativement , ça n'importe pas ? !

Autre chose , pour dire que H est un sous groupe cyclique est ce qu'il suffit de trouver que avec n le p.p entier > 0 tel que ??

Edit : a c'est le générateur du Groupe G .

Merci infiniment pour votre aide !

[ichigo01]

Prend un exemple simple, genre Z/6Z. c'est un groupe cyclique, l'un de ses générateurs est 1. Maintenant si tu regardes {0,2,4}, c'est un sous groupe cyclique de Z/6Z, dont un generateur est 2.

Désolé pour le multi poste !

Mais maintenant j'ai compris , grâce à ton exemple

comme dans ton exemple le groupe est noté additivement , la générateur du sous groupe que tu as poser ce n'est que n x 1 avec ne le p.p entier strictement positif tel que n x 1 {0 , 2 , 4}

Conclusion : le générateur du sous groupe n'est pas forcément celui du groupe , mais il en dépent

[invitebe0cd90e]

Autre chose , pour dire que H est un sous groupe cyclique est ce qu'il suffit de trouver que avec n le p.p entier > 0 tel que ??

Oui, en fait il suffirait de montrer qu'il existe un certain x dans G tel que H=<x>. Mais en pratique, pour montrer qu'un tel x existe, l plus simple est tout betement de le construire, et donc de prendre effectivement x=a^n avec n le p.p. entier tel que etc..

Conclusion : le générateur du sous groupe n'est pas forcément celui du groupe , mais il en dépent

Il en depend forcement, vu que c'est un element de G, il s'ecrit forcement comme une puissance du generateur de G. Le resultat un peu plus fort qu'on a c'est qu'on sait caracteriser ladite puissance.