Théorie des Nombres !! Simplifier les chiffres

[Fazoumar]

Bonsoir , je suis Nouveau sur le Forum , je me demandé est ce qu'il existe une loi mathématique qui affirme ou rejette le faite que tous pour tous entier N il existe un entier K tel que N*K ne contient que des 0 et des 1 , Merci de m'envoyé le lien d'ou vous tirez votre raisonnement si c'est possible bien sur ^^" , et merci de vos réponse





PS : si il en existe pas , pourriez vous m'orientez ? ( Un théorème proche ou une intuition de votre part serait la bienvenu )
-----

[Elie520]

Je crois avoir trouvé que c'est effectivement possible, et c'est étonnamment assez simple :

Soit . on pose pour tout : avec .

On note alors, pour tout , le reste dans la division euclidienne de par .

Alors par le "principe des tiroirs", il existe tels que :

et .
Alors : .

Le résultat final est meme plus fort : on trouve un multiple de non seulement inférieur à et de la forme .

Voila, j'espère ne pas avoir fait d'erreur.

Cordialement.
Elie520.

[Fazoumar]

Merci Elie520 Pour votre réponse , mais j'arrive pas a comprendre le principe des tiroirs si c'est possible de le vulgariser sur un autre exemple ? sinon si le passage du principe du tiroirs est juste , je crois que vous avez résolu mon problème

[Elie520]

Bonjour, alors le principe des tiroirs s'énonce comme suit :

Si et sont des ensembles finis tels que alors il n'existe pas d'injection de dans .
Autrement dit, pour toute application , il existe deux éléments distincts de qui ont la même image dans par , ou encore, il existe un élément de ayant (au moins) deux antécédents par dans .

Maintenant, la version "vulgarisée", qui donne son nom à ce théorème dit que si vous avez chaussettes à ranger dans tiroirs avec , alors vous DEVREZ mettre au moins deux chaussettes dans un même tiroir.

Comment je l'ai appliqué ici :

Dans la division euclidienne, le reste est, par définition de la division euclidienne, dans , il y a donc restes différentes possibles. donc parmi ( éléments), il y en a au moins deux égaux !

Cordialement.
Elie520.

P.S.: Remarquez enfin que, dans votre problème, si de plus est premier avec (c'est-à-dire n'est pas visible ni par ni par ), alors il existe tel que soit de la forme (pas besoin de ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fazoumar]

Merci beaucoup Elie520 c'est beaucoup plus claire maintenant , je vous tiendrez au courant de la suite bientôt

[Fazoumar]

Merci Elie , ta démonstration ma beaucoup aidé , j'ai changer totalement l'orientation de mon raisonnement grâce a ta réponse

[Elie520]

De rien ^^ Je t'avoue que j'étais parti sur une piste beaucoup plus compliquée au début, mais ce sont des choses qui arrivent !