Calcul de l'écart type d'une grandeur quadratique

[Kelv]

Bonjour,

Comment calculeriez-vous l'écart-type de : ?
Sachant que r et U sont des vecteurs.

Moi j'ai procédé ainsi:


Est-ce correcte ?

Merci et bonne journée,
Kelv
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[toothpick-charlie]

ce que tu notes entre crochets pointus c'est l'espérance?

tu sais que Var(X+c)=Var(X) si X est une variable aléatoire et c une constante. Ainsi EU^2 = Var(r-Er)=Var(r) (en notant EX l'espérance de X)

[Kelv]

Merci pour cette réponse rapide.

Je fais de la physique, le vocabulaire est sûrement moins rigoureux. Entre crochet, c'est en effet l'espérance (moyenne de la grandeur). est l'écart type.

Si je développe, je trouve:



Ce que je cherche c'est l'écart type de , en quoi cela m'avance-t-il ?
En fait, je cherche l'écart-type de la variance de

[gg0]

Bonjour.

En notation habituelle des probabilistes :
V(U²)=E(U⁴)-E(U²)²=E((r-E(r))⁴)-s(r)⁴. s(r) étant l'écart type de r.
Ensuite, il y a plusieurs options, suivant qu'on veut se ramener à r et à ses moments, ou en partie à sa moyenne et son écart type.
Pour le calcul sur les moments, il suffit de développer la puissance quatrième et d'utiliser la linéarité de E. On développera aussi s(r)² en fonction de E(r) et E(r²).
L'autre option nécessite de savoir ce qu'on veut obtenir !!

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kelv]

En réalité, mon objectif est d'obtenir l'erreur statistique sur E(U²) qui est défini en physique statistique comme:

Quand je fais une "mesure" (simulation) d'une grandeur , j'ai une erreur sur la moyenne égale à :


avec N, le nombre de simulation indépendante.

Je cherche

Et, je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait.
J'espère que c'est plus clair.
Merci pour vos réponses.

[toothpick-charlie]

tu cherches un estimateur non paramétrique de cette quantité? (i.e. tu as des mesures r1,...,rn et tu veux estimer la quantité en question sans rien savoir de la loi de r) ou bien est-ce que tu as un modèle paramétrique de la loi de r et tu veux calculer la valeur du paramètre Var(U^2) ?

[Kelv]

En effet, j'ai des séries de mesures r1, r2, r3..., rn. J'en déduis la moyenne E(r1), E(r2), E(r3), ..., E(rn). Enfin, je calcul numériquement :



Avec N, le nombre de simulation parallèles indépendantes.
Et je souhaite savoir les incertitudes statistiques sur cette grandeur. Donc, je ne sais finalement pas grand chose sur r si ce n'est qu'il oscille autour d'un point d'équilibre que j'évalue comme étant sa moyenne.

[gg0]

Bonjour.

U_n et les r_i sont des vecteurs ? Et quel est le rapport entre n et N ?

Cordialement.

[Kelv]

Oui, ce sont toujours des vecteurs. J'ai écrit un peu vite, mais les n représente des N au début de mon message. Il s'agit du nombre de simulation indépendante.
Comme, mes N simulations ne représentent qu'un échantillon des possibilités totales, je cherche à évaluer l'incertitude sur la vraie moyenne de par rapport à la valeur que je "mesure".

[toothpick-charlie]

puisque tu as plusieurs valeurs de U tu n'as qu'à estimer la variance de U^2 par la méthode des moments (i.e. l'estimateur le plus classique de la variance 1/(n-1)*somme des carrés des écarts à la moyenne).

[gg0]

Si ce sont des vecteurs, c'est bien des carrés scalaires ?

D'autre part, que signifie qui doit être un vecteur s'il est soustrait à ?

Je crois qu'il y a quelque part une confusion (bien caractérisée par le mélange N/n).

Est-ce cela :

Tu as mesuré n vecteurs de , indépendemment.
Tu as calculé un vecteur moyen (isobarycentre)
Tu calcules
Notons les N composantes de et celles de . et finalement :



Si c'est bien cela, on peut inverser les sommations pour se ramener à un calcul composante par composante et faire apparaître le vecteur (car c'est bien un vecteur, non ?)

Cordialement.

[Kelv]

En effet, j'ai n vecteur représentant chacun la position d'un site atomique (i étant l'indice associé au site atomique). Je calcul , la moyenne sur des simulations indépendantes de (donc pour un même site atomique).

Pour chaque site atomique, je fais l'écart par rapport à sa position d'équilibre .

J'ai n sites atomiques dans mon système, donc n valeur de pour une simulation donnée.

Jamais, je ne moyenne sur l'ensemble des n sites. Je ne fais que moyenner sur les simulations indépendantes.

est l'analogue à l'écart par rapport à la position d'équilibre d'un oscillateur harmonique.
est, par la même analogie, lié à l'énergie de cette oscillateur.

[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas répondu à ma question : est-il bien un carré scalaire ? Car le carré d'un vecteur n'est généralement que le nombre obtenu par produit scalaire (Donc pour un vecteur position, le carré de son module).
Et si je comprends bien, dans ton cas, mon N vaut 3 (ce sont des positions dans l'espace), non ? Et ton est lui aussi un vecteur (le vecteur des variances de chaque composante).

Cordialement.

[toothpick-charlie]

en principe la variance d'un vecteur est une matrice.

[gg0]

Tout à fait !

Et c'est pourquoi j'essaie de lui faire préciser ce qu'il calcule !!!

Cordialement.

[Kelv]

Excusez moi de mon manque de précision.


Donc, est un scalaire.

avec
et

Ton N vaut bien 3, car je suis en 3D.
En revanche, je ne moyenne pas sur n, le nombre de vecteurs d'une même simulation. Mais j'effectue plusieurs simulations, et j'observe les mêmes sites i que je moyenne. Donc, j'ai n moyenne, car j'ai n sites. Chaque moyenne étant faite sur, disons, S simulations.

C'est pour ça qu'au début, je n'ai considéré qu'un site atomique.

Il doit y avoir un (variance) pour chaque composante, mais si je développe , je vais tout obtenir par rapport à et qui est sont des scalaires, donc au finale, je ne vois pas pourquoi j'aurais une matrice ou un vecteur ?

Merci de votre aide.

[toothpick-charlie]

est-ce que tu peux supposer xi, yi et zi indépendantes? et de même loi? et qui plus est gaussienne? (auquel cas ton problème serait résolu)

[Kelv]

xi, yi, zi, je pense, peuvent être considéré indépendante et de même loi. En revanche, je ne suis pas sûr qu'il s'agisse d'une gaussienne, bien que ce puisse être le cas.

[gg0]

Moi, je n'y comprends plus rien !

"je ne moyenne pas sur n" et " est bien une moyenne sur n.

S'il y a des sites indépendants, on fait le calcul pour un site, et on a le résultat. Ou alors on globalise sur l'ensemble des sites parce que c'est nécessaire.

Kelv,

tu pourrais essayer d'être clair sur tes notations et sur ce que tu fais. Moi, dans ces conditions, je renonce à essayer d'imaginer ce que tu peux faire.

[Kelv]

C'est parce qu'on ne parle pas du même n. Reprenons de 0.

Soit 1 atome isolé. Sa position actuelle est , qui est un vecteur. Sa position d'équilibre, qui est aussi un vecteur est .

Quand je fais 1 simulation, j'obtiens une valeur de . J'effectue N simulations indépendantes, j'ai donc qui indique tous la position de cette atome, avec i l'indice lié au numéro de la simulation.

J'en déduis,

.

est un vecteur dont les composantes sont et est un vecteur dont les composantes sont

J'ai ensuite:



est un vecteur. sont les vecteurs unitaires selon les 3 axes dans un repère orthonormé.


Ce que je veux mesurer, c'est :


J'en déduis la moyenne:



La moyenne que j'en déduis, n'étant effectué que sur un nombre de simulation limité (échantillonnage), n'est pas exacte, elle possède une erreur, une incertitude. Appelons la moyenne exacte. Je cherche tel que:



Pour une grandeur A, j'aurais:


Au finale, je cherche . J'ai utilisé la méthode précédente mais je ne suis pas sûr de sa justesse dans mon cas.

[toothpick-charlie]

Je cherche tel que:

il n'y a aucune raison pour que l'écart-type de U^2 vérifie cette relation. Si tu cherches à estimer l'écart-type de U^2 ne te prends pas le chou, tu as des valeurs V1,...,Vn (je pose Vi=Ui^2), tu calcules la moyenne V des Vi et tu prends la racine carrée de 1/(n-1) somme (Vi-V)^2.