Continuité dans les espaces métriques

[invite204ee98d]

Bonsoir,



Dans un exercice que j'ai commencé, j'ai un problème à la question 4) et la 5)a), merci de me venir en aide :

Je dois chercher si les sous ensembles de sont ouverts, fermés ou non :
Pour la 4) j'ai :



Pour moi ça serait ouvert car les conditions au dessus imposent que x soit différent de y, par contre je vois pas trop comment traduire l'inégalité de droite. Passer en logarithme ?

5)a) Soit et : --> définies par -->et -->
Montrez que ces applications sont continues sur

Si on prend par exemple, ça semble évident que c'est continu sur puisque l'image associée est qui
De même pour , mais dire n'est pas valable non ?
Sinon dois-je dire : quelque soit dans si --> alors ?
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[invite76543456789]

Salut,
Pour la 4, peux tu ecrire ton ensemble comme intersection de deux sous ensembles qui sont des images reciproques de fermés par des fonctions continues.
Pour la 5, quel est l'image inverse d'un intervalle ]a,b[ par p1?

[inviteea028771]

Le plus simple pour le 4), c'est de voir ton ensemble comme l'intersection de deux images réciproques par des fonctions continues de ]0,+oo[. Respectivement f(x,y) = x-y et g(x,y) = e^(x^3+ y²) - x+y

(enfin ça suppose d'admettre qu'elles sont continues)


Pour la 5), il faut plutôt montrer que si (xn,yn) tend vers (x,y) alors p(xn,yn) tend vers p(x,y). Ce qui est trivial en choisissant la bonne norme sur R²

[invite204ee98d]

J ai du mal a voir pourquoi cet ensemble est decrit par l inter des images de deux fonctions.
Moi je ne songeais pas a ca

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite204ee98d]

A priori, je n'ai pas compris quelque chose donc avant de faire la question 4), pourriez-vous me dire si mes idées concernant les précédentes se révèlent elles aussi erronées.

1)

Sous-ensemble fermé car si alors

2)

Sous-ensemble ouvert car avec

3)

Là j'ai un soucis comme pour la suivante, moi je procède de la manière suivante qui doit être incorrecte. D'après cette inégalité j'en déduis deux choses :

-que peut appartenir à tandis que peut appartenir à

d'où

est fermé, tandis que est mi-ouvert, mi-fermé.

Hier, en regardant rapidement le 3), je m'étais dit qu'il était ouvert puisque je me suis dit que l'inégalité (sans faire passer quoi que ce soit d'un côté ou de l'autre) implique que y est strictement positif donc appartient à mais je n'ai pas pris en compte les valeurs que pouvez prendre .

Ce que je ne comprends pas c'est que doit-on regarder quand on est dans par exemple, les valeurs que chaque variable peut prendre,... ?

En vous remerciant pour vos précédentes réponses.

[inviteea028771]

Pour la 2), B n'est pas ouvert, puisqu'il n'existe pas de boule ouverte centrée en (1,1) contenue dans B (Aucun point de la forme (1,1+epsilon) n'est dans B).

Ici ça ne se voit pas directement comme l'image réciproque d'une fonction (on peut néanmoins le voir comme l'image réciproque du singleton {0} par la fonction f(x,y) = x-1/y définie sur R* ² )

Pour la 3), intéresse toi à la fonction f(x,y) = y(x²+1) - 1

[invite204ee98d]

Bonsoir, j'avais laissé cet exercice de côté, et en m'y remettant dessus je me demande pourquoi pour la 2) mon explication donnée dans mon message précédent celui-là est fausse

[gg0]

Bonsoir.

Difficile de voir ce qui est faux, car ce n'est pas compréhensible : " " ?? C'est quoi f ? Et ce qui suit nécessiterait de savoir encore ce qu'est f.
par contre, Tryss, dans sa réponse, définit une fonction f clairement, et donne cet ensemble comme image réciproque ... d'un fermé !

Cordialement.

[invite204ee98d]

f est une fonction qui va de R^2 dans R.
Et pouvez tenter de m'expliquer autrement que ceux qui ont répondu précédemment pour le 3) et 4)
Je vois pourquoi il faut s'intéresser aux fonctions que Tryss m'a données par exemple, et que dois je faire dans cette étude.
Merci.

[gg0]

Tu n'as toujours pas défini ta fonction f.

C'est pour cela que ta "preuve" n'en est pas une !! Ce n'est même pas faux, c'est sans signification.

[invite204ee98d]

Bon laissons tomber la 2) j'ai faux, pouvez vous me répondre aux autres questions de mon message précédent, merci.

[gg0]

Pour la 3, Tryss t'a donné une méthode, tu peux l'employer. Ou bien prendre un élément de c et trouver une boule ouverte qui le contient.

Pour la 4, tryss t'a donné ce qui est sans doute la seule méthode simple (ça revient à séparer les inégalités).

Bon travail !