Fonction de transfert et équation temporelle

[inviteb4dc0e39]

Bonjour à tous...

Je suis sur un problème simple de régulation où je dois modéliser le refroidissement d'un récipient d'eau chaude à l'air libre.

J'ai modélisé simplement le problème par l'équation :



où c est la chaleur massique de l'eau dans le récipient
t est la variable temps
M est la masse d'eau dans le récipient
T est la température de l'eau dans le récipient
A est la surface du récipient (surface d'échange)
Ta est la température de l'air ambiante
U est le coefficient d'échange thermique [W/°C/m²]

En appliquant la transformée de Laplace sur cette équation je trouve la fonction de transfert du système Ta->T



où

et


est la transformée de Laplace de T
est la transformée de Laplace de T

Et si je considère une température Ta constante dans le temps, je trouve que



en appliquant la transformée de Laplace inverse.

Et vu que K est positif (U,a,c et M positifs), je trouve que T(t) est croissante dans le temps !!! alors que la fonction devrait être décroissante: le récipient refroidi sous un température Ta<T !!!

Je ne vois absolument pas d'où provient l'erreur !! Et je suis d'autant plus déprimé que le cas considéré est fort simple -_-'

Si quelqu'un pouvait m'aider je serait vraiment ravi !!!

Merci d'avance !

PS: désolé si je ne suis pas dans le bon thread mais c'est mon premier post sur le forum et mon sujet touche à divers domaine : mathématiques, transfert de chaleur, électronique de régulation...
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[gg0]

Bonjour.

C'est quoi le p dans T(t) ???
Et quelle est la variable de la fonction de transfert ? Tu écris p=-K donc p est une constante. Quelle est la variable ?
Tu as aussi deux lignes incohérentes :
est la transformée de Laplace de T
est la transformée de Laplace de T

Bon, une fois que ce sera remis en ordre, on verra.

Cordialement.

NB : e^pt-1 peut très bien être négatif.

[Bruno]

Bonjour,

Comme l'a dit gg0, il faut commencer par bien poser le problème avant de se lancer dans les calculs. Tu as bien fait de regrouper c, M, U et A dans une constante K. Au niveau notations, il faut savoir qu'on utilise la lettre 'p' pour un nombre complexe en francophonie, et la lettre 's' partout ailleurs donc utiliser les 2 est un peu maladroit. Ensuite, quelle est l'entrée u(t) et la sortie y(t) de ton système ? Si j'ai bien lu, u=Ta et y=T donc l'équation différentielle devient:



En appliquant la transformée de Laplace (notation francophone):




Tu as ici un pôle en z=-1/K et donc un système stable (K>0). D'ailleurs sa réponse impulsionelle est bien (t>0). Si tu veux jouer avec des conditions initiales non-nulles il faut partir de

[inviteb4dc0e39]

Bonjour.

C'est quoi le p dans T(t) ???
Et quelle est la variable de la fonction de transfert ? Tu écris p=-K donc p est une constante. Quelle est la variable ?
Tu as aussi deux lignes incohérentes :
est la transformée de Laplace de T
est la transformée de Laplace de T

Bon, une fois que ce sera remis en ordre, on verra.

Cordialement.

NB : e^pt-1 peut très bien être négatif.

Autant pour moi, j'ai essayé d'être précis dans l'énoncé du problème, mais c'est vrai que j'aurais du être plus précis sur ces deux points là...

La variable de ma fonction de transfert est s.

p est le pôle de ma fonction de transfert G(s)

Dans ce cas ci, c'est à dire (K étant le gain)

Et en effet, j'ai fait un copier coller trop vite, j'aurais du écrire :
est la transformée de Laplace de Ta

NB: oui en effet, est négatif... ce qui fait que T(t) est croissante alors qu'elle devrait être décroissante en toute logique... (et pourtant, on voit bien, dans ma première expression que la dérivée de T(t) est négative)


Merci pour ton aide !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4dc0e39]

Bonjour,

Comme l'a dit gg0, il faut commencer par bien poser le problème avant de se lancer dans les calculs. Tu as bien fait de regrouper c, M, U et A dans une constante K. Au niveau notations, il faut savoir qu'on utilise la lettre 'p' pour un nombre complexe en francophonie, et la lettre 's' partout ailleurs donc utiliser les 2 est un peu maladroit. Ensuite, quelle est l'entrée u(t) et la sortie y(t) de ton système ? Si j'ai bien lu, u=Ta et y=T donc l'équation différentielle devient:



En appliquant la transformée de Laplace (notation francophone):




Tu as ici un pôle en z=-1/K et donc un système stable (K>0). D'ailleurs sa réponse impulsionelle est bien (t>0). Si tu veux jouer avec des conditions initiales non-nulles il faut partir de

Bonjour,

Deux questions me viennent à l'esprit lorsque je lis ta réponse :

1)je ne comprend pas pourquoi tu trouves cette expression juste après avoir appliqué la transformée de Laplace. Ne devrais-tu pas plutôt trouver :
?

2)En considérant ta fonction de transfert H(p), le pôle n'est-il pas la valeur de p qui annule le dénominateur de la fonction de transfert, c'est à dire dans ce cas, pôle=-K ? (et non -1/K)

Merci à toi !

PS : j'effectue ce projet dans le cadre d'un stage au Danemark, d'où la notation anglophone avec les s... Autant pour moi, je ne connaissait pas la différence due au contexte géographie
PS bis : oui la sortie de mon système est bien T et l'entrée Ta

[Bruno]

Salut,

Oui j'ai oublié de simplifier le signe devant KU(p) mais ça n'a pas d'impact sur le signe du pôle (qui est bien en -K...).

[inviteb4dc0e39]

Salut,

Oui j'ai oublié de simplifier le signe devant KU(p) mais ça n'a pas d'impact sur le signe du pôle (qui est bien en -K...).

Oui donc nous avons bien les mêmes calculs jusque là. Mais mon problème n'est pas d'avoir un système instable...

Mon problème est que, lorsque j'applique ensuite la transformée de Laplace inverse à l'expression



en prenant u(t) = constante (=Ta),

je tombe sur l'expression



qui me dit que ma température est croissante dans le temps ! Alors qu'elle devrait être décroissante, étant donner que T refroidi sous Ta<T...

Comment cela se fait-il ?

[Bruno]

Tu peux détailler ton calcul ? Si je prends un échelon u(t)=Ta (t>0) et u(t)=0 (t<0) :



D'où:

[inviteb4dc0e39]

Tu peux détailler ton calcul ? Si je prends un échelon u(t)=Ta (t>0) et u(t)=0 (t<0) :



D'où:

Je fais exactement comme toi. Sauf que vu que ma sortie y(t) ne vaut pas zéro à l'instant initial mais vaut une valeur y(t0), j'ajoute la ligne suivante :



qui est une fonction croissante o_0

en tout cas, merci je sens qu'on approche ^^

[Bruno]

C'est normal qu'elle soit croissante, puisqu'on a considéré un échelon de 0 à Ta et y(0)=0. Pour la condition initiale tu ne peux pas la rajouter ainsi, il faut repartir de l'équation en p :



Et donc ta réponse indicielle devient:



Avec la fonction échelon unitaire. Si on dérive par rapport au temps, on trouve une expression dont le signe dépend de (Ta-y(0)) comme attendu.

[inviteb4dc0e39]

Merci beaucoup !!! Cela résout mes problèmes !

Mais une question me vient alors à l'esprit :

Est-ce qu'on peut toujours dire que



est toujours la fonction de transfert du système Ta->T ?? (étant donné le terme supplémentaire qui apparait dans l'équation)

Si non, comment déterminer cette fonction de transfert dans ce cas ?

[Bruno]

Oui, la fonction de transfert est définie pour des conditions initiales nulles puisqu'elle suffit à prédire le comportement du système quelles que soient ses conditions initiales.

[inviteb4dc0e39]

Ok merci beaucoup Bruno ! Ton aide m'a été très utile !