exercice sur les matrices (maths sup)

[invite16746e49]

bonjour, je fais un exercice sur les matrices mais je bloque a deux questions... pouvez vous m’éclaircir les idées svp!



sujet: on considere l'endomorphisme f de R^3 canoniquement associé a la matrice

(1 0 0
A= -1 0 2
-1 -1 3)
1) pour tout réels lambda, calculer le rg(A- lambda*I3)
alors j'ai calculé la matrice B=(A- lambda*I3) et j'ai obtenu (je note "k" -> lambda)
B=( 1-k 0 0
-1 -k 2
-1 -1 3-k)

j'ai voulu faire des opérations élémentaires afin d'aboutir a une matrice échelonnée mais je suis bloquée a la 3e etape de calcul

1 etape : L1<-->L3
2 etape : L2<--'L2-L1'
L3<--'L3+L1'

et j'obtiens la matrice suivante
(-1 -1 3-k
0 -k-1 -1-k
-k -1 3-k )

comment faire pour obtenir 0 ici svp ?

2)en deduire deux réels a et b (a<b) tq Fa=ker(f-a*IdR3) et Fb=ker(f-b**IdR3) ne se réduisent pas à {0(R3)}
déterminer alors une base et la dimension de chacun de ces espaces

j'ai commencé par calculer la matrice A=f-a*IdR3 et j'ai obtenu
(1-a 0 0
A= -1 -a 0
-1 -1 3-a)

est ce que je dois poser des conditions sur a pour en déduire le ker ou non ?
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[invite33c0645d]

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[invitef3414c56]

Bonsoir,
Une méthode plus simple que celle que vous avez utilisée et de d'abord calculer
le déterminant de B=A-kI (avec vos notations). Il est très simple à calculer, et vous savez que s'il est non nul, le rang de B est égal à 3. Il vous restera à voir ce qu'il se passe pour deux valeurs particulières de k; faites une étude particulière pour chacune de ces deux valeurs pour trouver le rang dans ces deux cas.

Cordialement.