bonjour,
pouvez vous m'aider pour cet exo:
on se place dans l'espace vectoriel E=M2(R). On définit tr de E dans R par tr(A)=a11+a22 pour tout A=[aij] appartenant à E
a)vérifier que tr est linéaire j'ai réussi
b)donner une base de E puis la matrice de tr dans cette base.
là je bloque car je ne vois pas comment trouver une base de E car E est un ensemble de matrice
merci de votre aide
E est un espace vectoriel de dimension finie, donc tu peux en trouver une base.
En fait, il existe une base canonique, qu'on note (E11, E12, E21, E22)
Et en généralité, Eij, c'est la matrice avec des 0 partout sauf un 1 sur la i ème ligne, j ème colonne.
Après la trace d'une matrice, tu peux voir ça comme une application linéaire, donc tu peux la traduire sous forme matricielle dans cette base !
Bonjour,
C'est le même raisonnement que pour les vecteurs, tu écris. Pour les matrices :
De manière générale, on note
If your method does not solve the problem, change the problem.
je n'ai pas réussi à écrire tr dans la base que j'ai trouvé
comme base je trouve{(E11,E12,E21,E22})
ca me donne tr(E11)=1 tr(E12)=0 tr(E21)=0 tr(E22)=1
mais comme je fais pour exprimer ce que j'ai trouver en fonction de E11,....
Bonjour,
ah non tu n'est plus dans E en image mais dans R
Ta matrice sera donc formée de 1 ligne et de 4 colonne
donc ma matrice que je note M est:
M= (1 0 0 1)
mais dans la suite on me demande ker tr
si je pose U=x
y
je ne peux faire le produit MU=0
je me permet de relancer le post
En fait, tu as
If your method does not solve the problem, change the problem.
mais pourquoi U est de cette forme?
et comment savoir qu'il sera de cette forme,
Parce que U est un vecteur colonne avec pour coefficients les coordonnées de la matrice dans la base choisie.
If your method does not solve the problem, change the problem.
j'aurai encore une question:
après avoir résolue MU=0
j'arrive à x+t=0
mais comment déterminer une base de ker tr car ici on ne peut pas parler d'hyperplan?
je pense que ce qui me bloque ici c'est le tr
parle t-on de matrice ou d'application linéaire?
L'espace vectoriel des matrices M2(IR) est un espace de dimension 4 sur IR. Tu peux donc le "voir" comme un équivalent de IR^4.
Prends une base de cet e.v. par exemple celle que Thomas ou Phys2 t'ont donnée. Toute matrice 2x2 s'écrira comme combinaison linéaire de cette base.
Ensuite la trace est une forme linéaire, car elle va de l'espace des matrices dans IR. On peut donc la représenter comme une matrice colonne à 4 dimensions.
Enfin KerTr est constitué du sev de l'espace de tes matrices où Tr s'annule. C'est un hyperplan de l'espace des matrices !
une base de F est donc {(-1,1)}
pourtant si F est un hyperplan on a dim F=3 donc il me faudrait 3 vecteurs dans la bases
C'est quoi {(-1,1)} ? Ca vit dans quel espace ?
QUestion subsidiaire : je prends la matrice qui a 1 dans le coin supérieur droit et 0 partout ailleurs, quelle est sa trace ?
en faite mon (-1,1) est la solution de l'équation x+t=0
c'est un vecteur qui engendre l'hyperplan des matrices
sinon pour ta deuxième question la trace est 0. Pourquoi me demandes tu ca?
Tu n'es pas clair sur (-1,1), que représentent x et t ? Et tu parles d'un vecteur qui engendre un hyperplan ? Bizarre, un vecteur engendre une droite...
Pour un hyperplan dans l'espace des matrices, qui est de dimension 4, combien faut il de vecteurs ?
justement c'est la que ca coince
j'ai trouvé x+t en faisant le produit M par le vecteur colonne X
C'est quoi M ? et X ?
On ne comprend rien à ce que tu écris...
M=(1 0 0 1)
X= x
y
z
t
OK l'équation cartésienne de ton "hyperplan" de matrice est donc x+t=0.
Imaginons que l'on se transporte magiquement dans IR^4, quelle serait une base de cet hyperplan ?
une base serait E12 et E21
en faite pour le noyau on a ker tr={ MU=0}
si je reviens à la définition de la trace ca veut dire que ker tr={tr(U)=0}
Si on prend U= x y ca revient à trU=x+t=0
z t
est ce bon ce que j'écris?
Un hyperplan de IR^4 a une dimension de 3, il te faut 3 vecteurs. Par contre il est vrai que tr(E12)=tr(E21)=0.Envoyé par 369
Tu y es presque, il te faut encore un vecteur !
en faite je crois savoir ou est mon problème, il vient de l'objet que je manipule. Je n'ai pas l'habitude, en effet dans les autres exos qu'on a fait on répète mécaniquement une méthode.
sinon pour en revenir à l'exo pour troisième vecteur est ce que je peux prendre E11?
et puis j'aurai encore une question, dans un autres exos qu'on a fait, on avait ker(A-3I3)={2x+y-z=0} et on a pris comme base {(2,-1,1),(0,1,1)} pourquoi n'a t on pas pris des matrices puisqu'ici il s'agit d'un hyperplan de matrice?
Autre question: est ce que ker(A-3I3)=Ker(f-3idR^3) ou A est la matrice de f dans une base?
Je réponds à ta première question : tu veux prendre E11 comme 3eme vecteur du noyau de l'opérateur Tr. Est ce que Tr(E11)= 0 ?
Deuxième question : tu n'es pas dans le cas d'un ev de matrices, mais dans IR^3 !
Troisième question : oui !
mais si E11 ne convient pas, je ne peux plus trouver de vecteur car on est dans le cas des matrices 2x2
Oublions les matrices un instant.
Prenons l'espace vectoriel IR^4. Soit F la forme linéaire de IR^4 dans IR qui à un vecteur (x,y,z,t) associe le réel x+t.
On cherche le noyau de F, c'est à dire l'ensemble des vecteurs u de IR^4 tels que F(u)=0.
Tu es bien d'accord que c'est l'hyperplan H d'équation cartésienne x+t=0, il est de dimension 3 (on est dans IR^4).
Peux tu donner une base de H ?
une base est {(-1,1,0,0),(0,0,2,1),(1,-1,2,0)}
Est ce que (0,0,2,1) ou (1,-1,2,0) réponde à l'équation x+t=0 ?
Réfléchis à ce que tu écris !
