Exercice sur les matrices

[invite613090e7]

bonsoir à tous
voila je vous raconte un peu ma vie ^^ j'ai un probléme avec un exercice d'algèbre linéaire sur les matrices, il fait partie d'un devoir à faire à domicile et malheureusement je n'ai pas suffisamment avancé en révision pour le faire. espérons que j'y arrive avant demain enfin voila l'exercice :


soit A, U, V appartenant a M3(lR) et i, j appartenant à lR tq
i*j#0 et i#j
supposons que : A= i*U+j*V
A²=(i²)*U+(j²)*V
(A^3)=(i^3)*U+(j^3)*V

_ determiner une relation entre (A^3), A² et A, En deduire que quelque soit p appartenant à lN*, (A^p)=(i^p)*U+(j^p)*V .

_montrer que quelque soit p appartenant à lN* rg(A^p)=rg( A).

Mercii de m'aider Svp et je Go me présenter ^^
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[invite613090e7]

dsl pour le double poste mais je voulais apporter qq ajouts donc voila :
pour la premiere question : la relation je vois tjs pas, mais pour la deduction j'ai fait un raisonnement par reccurence mais j'ai pas su conclure :

P(p)<=> (A^p)= (i^p)*U+(j^p)*V
pour p =1 : P(1)<=> A= i*U+j*V qui est vraie
supposons que P(p) est vraie et montrons qu'elle l'est pour P(p+1) :
P(p+1)<=> (A^p+1)=(i^p+1)*U+(j^p+1)*V
<=> A*(A^p)=i*(i^p)*U+j*(j^p)*V
mais là je trouve pas avec quoi enchainé

[invite3240c37d]

On détermine en fonction de , on remplace dans la 3ème égalité et on obtient
, donc
Je te laisse calculer , et montrer ensuite l'égalité demandée via la récurrence sur ..

[invite613090e7]

On détermine en fonction de , on remplace dans la 3ème égalité et on obtient
, donc
Je te laisse calculer , et montrer ensuite l'égalité demandée via la récurrence sur ..

Merci pour ta réponse, elle m'a bien aidé

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