Équation différentielle

[invite0b99190c]

Bonjour, en fait nous reprenons un chapitre du lycée en maths mais comme je suis en première année de licence j'ai jugé bon de venir poster ici...

Donc voilà, je n'ai jamais été forte avec les équations différentielles et notre prof de TD n'est pas une flèche question enseignement donc j'aurai quelques questions sur les méthodes à utiliser pour résoudre des équa diff d'ordre 1 ou 2, avec ou sans second membre (comme par exemple : y'(t)=ty(t)-t ou bien y'(t)=2y(t)+e^{2t /1+t2})

Je n'ai pas vraiment compris si la méthode à utiliser est la même à chaque fois ou non mais dans mon cours j'ai : Il faut d'abord trouver la solution générale de l'équation différentielle homogène associée, ça c'est pas très très compliqué, mais ensuite il faut trouver une solution particulière de l'équation. Et c'est là où je bloque à chaque fois. Je ne comprends pas du tout ce qu'il faut faire pour trouver une solution particulière...

Si quelqu'un pouvait m'expliquer ça m'aiderai vraiment beaucoup
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[invite159cf21f]

Bonjour à toi,

je ne suis pas beaucoup plus avancé que toi niveau enseignement (même pas du tout) puisque je suis en sup, mais je vais quand même essayer de t'aider !

c'est en quelque sorte un cailler de recette pour trouver la solution particulière !
Tout dépend de ton second membre, je vais te faire un résumé pour le premier ordre déjà:

si ton second membre a une forme polynomial tu pose un solution particulière de la même forme (un polynome du même degré), tu l'a met dans ton éqation et tu identifie
exemple: y'+2y = 3x -7
tu pose fx= ax + b
ensuite te calcul f' + 2f, cela te fais un système d'équation et tu trouve a= 3/2 et b = -17/4

dis moi déjà si tu comprend ça, si oui je t'explique la suite, mais ça c'est la base.

[invite0b99190c]

Ça au début j'avais pas du tout compris mais là ça va, j'ai essayé de faire l'équation que tu m'as donné et j'ai un peu galéré mais j'ai retrouvé a=3/2 et b=-17/4
Merci beaucoup !

[invite159cf21f]

bon si tu y es arrivé c'est que tu as compris comment ça marche.

Mais tu n'es pas au bout !!

maintenant tu peux avoir des second membres exponentiel alors là deux choses:

il faut faire pareil par exemple dans ce cas: y' + 3y = 4e^5x tu pose f(x) = a.e^5x, tu reporte et tu identifie, comme avant.

par contre si dans ton équation y'+ by= c.e^kx, tu as k= -b, alors tu fais la même chose sauf qu'au lieu de poser f= q.e^kx il faut poser f= q.x.e^kx



voilà ça c'est pour l'exponentielle

ensuite si ton second membre est un polynome * exponentielle, par exemple si ton second membre est un polynome du second degré avec une exponentielle en facteur c'est à dire

y'+gy = p(x).e^kx
tu pose
f= (ax²+ bx + c) e^kx et là les deux même cas, sois k n'est pas égal à -g donc là tu reporte dans l'équation et tu identifie, sois k=-g et donc ta solution particulière est une primitive du polynome multiplier par ton exponentielle. Facile !


si ton second membre est trigonométrique, rien de particulier, tu fais commen les polynome, tu pose f de la même forme, tu reporte, tu identifie

Voilà pour le premier ordre, si tu as compris je t'explique les second ordre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0b99190c]

C'est tout compris ! On avait eu beaucoup de calculs avec des exponentielles à faire et là ça me parait plus simple déjà

[invite159cf21f]

et bien pour les second ordre c'est exactement pareil, juste on peut rajouter pour les exponetielles:

quand on a ay'' + by' + cy = e^kx

si k n'est pas solution de l'équation caractéristique, c'est à dire ax² + bx + c=0, on pose f= q.e^kx

si k est racine simple f = q.x.e^kx

racine double: f = q.x².e^kx


voilà avec ça c'est déjà pas mal !

A+

[invite0b99190c]

D'accord je vois, il me reste plus qu'à m'entrainer ^^
Merci énormément pour ces explications !