cos(pi/m)

invitee75a2d43 · 12/05/2013, 05h38

Bonjour

je connais les formules d´Euler pour par exemple calculer cos(mx). Mais je cherche à calculer cos(pi/m). J´ai essayé de le tirer des formules d´Euler, mais rien à faire. Quelqu´un a-t-il une idée?

Merci d´avance

Christophe

**gg0** · 12/05/2013, 10h24

Bonjour.

En utilisant $\text{[math]}$ on peut trouver une équation algébrique dont $\text{[math]}$ est une des solutions. Ce qui permet parfois de calculer $\text{[math]}$ algébriquement (4 opérations plus racines n-ièmes), mais pas en général.
En fait, tout dépend de ce que tu veux obtenir. Une formule générale exprimée clairement en fonction de m ne peut être donnée avec des calculs "simples".

Cordialement.

**0577** · 12/05/2013, 20h52

En utilisant on peut trouver une équation algébrique dont est une des solutions. Ce qui permet parfois de calculer algébriquement (4 opérations plus racines n-ièmes), mais pas en général.

Pourquoi "pas en général" ? Si $\text{[math]}$ est un entier (ce qui semble être sous-entendu) alors $\text{[math]}$
peut se calculer algébriquement (4 opérations plus racines n-ièmes à partir de nombres rationnels)
(l'équation cyclotomique $\text{[math]}$ est résoluble par radicaux).
Mais ma conclusion est la même que celle de gg0 : pas de formule générale "simple" en fonction de m.

**gg0** · 12/05/2013, 21h43

Ah bon 0577 ?

Comme la question parlait de réels (les cos d'angles), je me suis placé dans $\text{[math]}$ . C'est le cadre de la question de Christophe. Et dans ce cadre, on ne sait pas donner une expression algébrique de $\text{[math]}$ . On peut éventuellement y arriver avec des racines 180-ièmes de -1 qui sont des complexes dont l'expression algébrique utilise ... $\text{[math]}$ .

Dans $\text{[math]}$ , certaines équations polynomiales de degré 3 n'ont pas d'expression algébrique de leurs racines.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitee75a2d43 · 13/05/2013, 05h22

Ah ben dommage, mais merci quand même.

**gg0** · 13/05/2013, 09h40

Simple éclaircissement :

Le "cos(1[?])" est cos(1°) (j'ai oublié de vérifier que le ° était bien passé).

**Elie520** · 13/05/2013, 10h32

Envoyé par gg0

Dans $\text{[math]}$ , certaines équations polynomiales de degré 3 n'ont pas d'expression algébrique de leurs racines.

Qu'entendez-vous par la ?

**gg0** · 13/05/2013, 10h49

Qu'on ne sait pas exprimer leurs solutions avec des additions, soustractions, multiplication, division, puissances entières, racines carrées, cubiques,... des coefficients.

C'est assez classique. Mais on présente toujours les théories de résolution dans $\mathbb C$, alors qu'une racine cubique complexe n'a pas de raison de s'écrire sous forme algébrique réelle.

Cordialement.

**Elie520** · 13/05/2013, 11h54

Toutes les équations polynomiales de degré 3 et 4 sont résolubles par radicaux...

**gg0** · 13/05/2013, 14h47

Dans $\text{[math]}$ , oui, pas dans $\text{[math]}$ .
Voir par exemple http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/algebre/remarque.pdf

**Elie520** · 13/05/2013, 15h03

Ah dans R... bien évidemment... x^2+1...
Autant pour moi.

**gg0** · 13/05/2013, 15h22

Heu ...

x²+1=0 se résout parfaitement dans $\text{[math]}$ : Aucune solution.
Le document que j'ai fourni parle de polynômes de degré 3 ayant 3 racines réelles.

Cordialement.

**0577** · 13/05/2013, 15h56

Bonjour,

d'accord avec gg0 sur la différence $\text{[math]}$ / $\text{[math]}$
(une extension cyclique d'ordre n d'un corps K n'est pas forcément de la forme K(t^n)/(t^n-a) pour un a dans K ...)

Remarque : sauf erreur, pour avoir une expression algébrique de $\text{[math]}$ dans
$\text{[math]}$ , il suffit d'avoir une racine primitive troisième de 1.

**Elie520** · 13/05/2013, 16h53

Tout à fait d'accord, je comprends maintenant ce que vous vouliez dire.

En effet, par exemple tous les $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

Désolé pour ce double malentendu !

cos(pi/m)

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