Ecart-type d'un résultat calculé

[invite51a945f1]

Bonjour à tous,

Je dispose de la relation suivante:

X = aY - bZ

avec:

- a et b des constantes
-
-
-

étant des moyennes et des écart-types. Ces valeurs sont calculées à partir des n mesures expérimentales.

Je connais a, b, , , et .
Quelle méthode dois-je appliquer pour calculer ?


J'ai pensé à calculer chaque X_i d'après chaque Y_i et chaque Z_i puis à calculer d'après les X_i calculés et (en utilisant la formule classique du calcul de l'écart-type).
Cependant, cette solution ne me satisfait pas. En effet, elle ne prend pas en compte les valeurs de et . Or, d'un point de vu expérimental, ces valeurs sont cruciales pour moi.
Pour illustrer tout ça, je pourrais prendre comme exemple que les écart-types relatifs ont ces valeurs:
- / = 10%
- / = 50%
En calculant à partir de chaque X_i, on perd l'information sur la variance particulière de Y et de Z. Savez-vous comment je pourrais conserver cette information?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

Cordialement,

Jean-Claude54
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Je ne comprends pas très bien.
Donc vous avez une série de triplets X,Y, Z tels qu'ils vérifient la relation X = aY -bZ.
D'abord, une première question, comment avez-vous déterminé cette relation et comment avez-vous calculé a et b ?

Ensuite, vous utilisez les moyennes des Y, puis des Z etc. Cette opération est légitime pour une série de mesure d'une même quantité, ici, il ne me semble pas que ce soit le cas. L'écart-type est celui des triplets, et non des mesures indépendantes.

A mon avis il faut reprendre le problème plus en amont. En d'autres termes, vous n'avez pas le droit d'écrire les 4 premières lignes de votre hypothèse.

[invite179e6258]

si Y et Z sont indépendants, Var(X) = a^2 Var(Y) + b^2 Var(Z)

par contre les relations du genre X = Xbarre +/- sigma(X) sont fausses si sigma(X) est l'écart-type de X

[Dlzlogic]

si Y et Z sont indépendants, Var(X) = a^2 Var(Y) + b^2 Var(Z)

par contre les relations du genre X = Xbarre +/- sigma(X) sont fausses si sigma(X) est l'écart-type de X

Bonjour Charlie.
On peut dire qu'a priori, Y et Z ne sont pas indépendants (d'après les hypothèses) puisqu'ils sont liés par la relation X = aY-bZ.
Mais s'ils sont effectivement indépendants, alors leur écart-type se calcule facilement indépendamment. D'où ma réponse "reprendre le problème plus en amont".

PS C'est marrant, j'ai tapé mon message entre ta première rédaction et la version actuelle. Pardon si je ne corrige pas.
PS2 c'est le problème du temps réel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a945f1]

Bonjour Dlzlogic et toothpick-charlie,

Tout d'abord, merci beaucoup pour vos réponses.

Je souhaite mesurer une quantité d'eau contenue dans un échantillon (X). Cet échantillon est préalablement dissout dans un solvant qui contient une faible quantité d'eau (Z). Un appareil me donne la quantité d'eau contenue dans le système {solvant+échantillon} (Y). Je soustrais donc à la valeur mesurée expérimentalement (Y), la quantité d'eau du solvant (Z) pour trouver la quantité d'eau de mon échantillon (X).
a et b servent à prendre en compte les fractions massiques de chaque composé. Elles sont sans unité et je les considère constantes.
X, Y et Z sont des quantités d'eau. A ce titre, l'équation est homogène.

Je ne pense pas pouvoir dire que Y et Z sont indépendants puisque Y est une fonction de Z. Autrement dit, la quantité d'eau contenue dans le système {solvant+échantillon} dépend forcément de la quantité d'eau contenue dans le solvant {Z}. Est-ce que cela complique l'expression de la variance de X?

Merci de m'avoir indiqué que l'expression était inexacte. Je confonds probablement écart-type et incertitude.

Cordialement,

Jean-Claude54

[Dlzlogic]

Votre explication ne m'éclaire pas beaucoup.

Vous avez un solvant qui contient une certaine quantité d'eau, disons parce qu'il n'est pas parfaitement pur. Cette quantité d'eau
est une valeur Z inconnue, disons 5% en volume.

Vous avez un échantillon E qui contient je ne sais quoi et un peu d'eau.
Vous dissolvez cet échantillon dans un volume V de solvant. La volume qui en résulte est Y = E + S (aux unités près)

Votre machine sépare l'eau du reste, par exemple par évaporation.
Vous mesurez cette quantité d'eau qui provient soit de l'eau contenue dans l'échantillon, soit de l'eau contenue dans le solvant.

Au bout du compte, la valeur cherchée est la quantité d'eau contenue dans l'échantillon = X. Et vous voulez savoir la précision de ce résultat.

Si c'est ça, ma question : quels sont les éléments connus, les éléments mesurés, le nombre d'observations, c'est à dire de mesures etc. ?

[invite51a945f1]

Désolé si ça n'était pas assez clair.

On peut également présenter le problème comme vous le faîtes. Le solvant n'est effectivement pas parfaitement pur et contient une faible quantité d'eau que j'ai mesurée au préalable en réalisant 10 mesures. Je connais donc la moyenne de la quantité d'eau du solvant et son écart-type .

Je réalise ensuite 5 mesures de la quantité d'eau (Y) contenue dans une solution composée de mon échantillon (contenant une quantité d'eau X) et de solvant (contenant une quantité d'eau Z). Dès lors, j'obtiens et son écart-type .
Je connais la fraction massique ou volumique d'échantillon dans cette solution. Rigoureusement, je devrais également exprimer une erreur sur cette fraction volumique. Cependant, pour diverses raisons expérimentales, je juge cette erreur négligeable et je considère la fraction massique comme une constante.

Ce que je cherche à calculer est la quantité d'eau contenue dans mon échantillon dissout (X). L'expression de ne me pose pas de problème (première équation de mon premier post). C'est l'expression de qui m'en pose. Je ne sais pas si, rigoureusement, on peut parler de "précision", mais l'idée est effectivement là. Je cherche à exprimer l'écart-type de X à partir des écart-types connus de Y et de Z.

J'espère avoir été plus clair.
Merci pour votre aide.

Jean-Claude54

[Dlzlogic]

Oui, c'est plus clair.
D'abord, je vous rappelle que le dénominateur dans le calcul de l'écart-type à partir de la moyenne observée, c'est à dire dans votre cas est (N-1), N étant le nombre de mesures.
Les écarts-type se combinent quadratiquement. C'est à dire que si une valeur est issue de 2 mesures de précision comparable, alors l'écart-type du résultat est sigma * racine(2), pour 100 mesures, ce sera sigma * 10.
Si sigma(Z) ~ sigma(Y), alors, c'est pas difficile.
Comme ça n'a pas l'air d'être cotre cas, il faudra faire une moyenne pondérée.
signa(X) = racine((sigma(Y) * py + sigma[z] * pz)/(py+pz))
Je pense que vous n'aurez pas de mal à évaluer py et pz, les poids à attribuer aux deux écarts-types.

[Dlzlogic]

PS, il faut être rapide pour faire une modif.
J'avais oublié de lettre au carré, la formule est donc

signa(X) = racine((py * sigma(Y)² + pz * sigma(z)² )/(py+pz))

[inviteea028771]

Personnellement je prendrait juste le problème dans l'autre sens:

on a deux variables aléatoires X et Z, que l'on peut probablement considérer comme étant indépendantes.

On a ensuite la variable aléatoire Y = cX+dZ (avec c=1/a et d= b/a)

On a que

On calcule ensuite la variance :



Donc




D'où




Et on a ainsi l'écart type de X en fonction de l'écart type et de la moyenne de Y et Z


- sous réserve que je n'ai pas fait d'erreurs de calcul -

[leon1789]

Les écarts-type se combinent quadratiquement.

Les écart-types se combinent quadratiquement lorsque l'on fait des combinaisons linéaires (ce qui est bien le cas ici X = aY+bZ), et s'il y a de l'indépendance dans l'air (ce qui n'a pas l'air d'être le cas ici entre Y et Z).
Voir le premier message de toothpick-charlie : Var(a Y + b Z) = a^2 Var(Y) + b^2 Var(Z) si Y et Z sont indépendants.
Bien sûr Var désigne la variance, c'est-à-dire carré de l'écart-type.

En reprenant les mêmes notations, je pense qu'on aurait plutôt
Y = (X-bZ)/a avec X et Z visiblement indépendants,
donc Var(Y) = Var(X)/a^2 + b^2.Var(Z) / a^2,
d'où Var(X) = a^2 Var(Y) - b^2 Var(Z)

EDIT : arf, grillé par Tryss

[leon1789]

conseil : les messages privés sont plus douteux que les messages publics

[leon1789]

on peut simplifier ton expression car

Du coup, on obtient

Il n'y a pas un problème de signe car Y = cX+dZ (avec X et Z indépendants) implique ...

[gg0]

Bonjour Jean-claude54.

Si c'est seulement du calcul d'incertitude, on peut appliquer les règles classiques qui donnent :
.

Par contre, utiliser l'écart type comme incertitude est un peu léger : seulement deux tiers des valeurs sont dans l'intervalle à 1 écart type.

Sinon, s'il s'agit vraiment d'écart type, il faudrait connaître la loi conjointe de (Y,Z), ou au moins la covariance de X et Y. on peut l'estimer expérimentalement ce qui donne une approximation par la formule :
.

Cordialement.

[invite51a945f1]

Merci à tous pour vos contributions.

J'ai une journée chargée demain et un week-end prolongé en perspective donc je reprendrai tout ça à tête reposée la semaine prochaine.
Encore merci à tous et à la semaine prochaine.

Jean-Claude54

[leon1789]

Etant donné qu'il y a eu cinq intervenants pour exposer cinq réponses différentes quand on regarde de loin, je pense qu'il est bon de faire le point (dans l'ordre chronologique) :


- toothpick-charlie a rappelé un théorème mathématique général ;


- Dlzlogic a proposé une formule d'écart-type de X qui repose (sans qu'il le dise, ni qu'il le sache) sur l'hypothèse d'indépendance de Y et Z, ce qui est clairement contraire à votre situation ;


- Tryss a présenté une preuve qui repose sur l'hypothèse (très vraissemblable dans votre situation) d'indépendance de X et Z. S'il n'y avait une erreur de signe dans ses calculs, il serait arrivé après simplification à la formule que j'ai présentée :
en terme de variances :
en terme d'écart-types :


- gg0 a donnée le résultat suivant, sans faire aucune hypothèse d'indépendance, mais en demandant le calcul de covariance cov(Y,Z) :
en terme de variances :
en terme d'écart-types :

[gg0]

Bien vu Léon,

toutes les interprétation probabilistes y sont. Il reste l'interprétation en termes de calcul d'incertitude, qui ne donnera pas un écart type, évidemment.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Félicitation pour cette synthèse.
J'ajouterai que la formule de Léon est naturellement la plus intéressante, puisqu'il suffit d'ajuster un écart-type par rapport à l'autre (tout simplement en jouant sur le nombre de mesures ) et on obtient une variance nulle pour X, ce qui signifie que le résultat est exact (écart-type nul).
PM, Il faut savoir distinguer l'indépendance des quantités de l'indépendance des écarts. On ici, on ne s'intéresse pas aux quantités mais aux écarts, incertitudes, erreurs quel que soit le nom qu'on leur donne.
Cela signifie qu'une quantité dont on donne une certaine valeur numérique, n'est pas exacte, mais qu'on a une idée de l'intervalle dans lequel la valeur exacte (valeur vraie) peut se trouver.

On a oublié de demander à l'initiateur de ce sujet s'il cherchait un écart-type le plus faible possible, le plus facile à calculer, le plus adaptable, le plus justifiable etc. Pardon, ceci est du mauvais humour

[leon1789]

Félicitation pour ses remarques plus que justifiées : ajuster un écart-type par rapport à l'autre et savoir distinguer l'indépendance des quantités de l'indépendance des écarts (écarts, incertitudes, erreurs quel que soit le nom qu'on leur donne).

[invite51a945f1]

Bonjour à tous,

J'ai enfin pu prendre le temps de relire à tête reposée toutes vos propositions. Je vous en remercie encore une fois.

gg0, j'ai bien noté l'expression de l'incertitude de X. Calculer l'incertitude à partir de la précision de chacune des étapes expérimentale (précision de la balance utilisée, des pipettes, de la sonde, etc) est la technique qui m'est venue naturellement initialement. Cependant, je ne dispose pas de suffisamment de données techniques des ustensiles et appareils utilisés lors des expériences pour exprimer l'incertitude de cette façon.

Concernant les autres propositions, j'ai du mal à concevoir que l'expression de l'écart-type de X soit issu d'une différence entre les écart-types de Y et Z. A ce moment là, comme le fait remarquer Dlzlogic, il est possible d'accéder à un écart-type nul de X, ce qui n'est clairement pas réaliste. Je me serais attendu à une somme plutôt qu'à une différence.
Du coup, l'expression proposée par gg0 ( ) me semble intéressante. Par contre, je n'ai pas la moindre idée de comment je peux, en pratique, exprimer la covariance entre Y et Z. Sauriez-vous m'aider sur ce point? J'ai bien trouvé la formule de la covariance, mais je ne suis pas très à l'aise avec l'opérateur Espérance. Cette formule se rapproche de celles proposées par toothpick-charlie, Dlzlogic et leon1789 - aux signes et aux facteurs pondéraux près. Je ne suis pas sûr d'avoir complètement compris la subtilité entre l'indépendance des variables Y et Z, et l'indépendance de leurs écart-types. Mais à voir la proximité de ces formules, ça me laisse penser que c'est dans cette voie qu'il faut creuser, probablement avec la covariance et Y et Z.

Ce qui pourra - je l'espère - vous aider, c'est de rappeler que Z représente la quantité d'eau contenue dans un solvant et que Y représente la quantité d'eau contenue dans un mélange {échantillon+solvant}. Ce mélange contient [a/(a+b)]% d'échantillon et [b/(a+b)]% de solvant, avec a+b=100% [en pratique, a = 20 % et b = 80 %]. Ce qui m'intéresse c'est la quantité d'eau contenue dans l'échantillon dissout dans le solvant.
On peut également noter que, bien que la quantité d'eau apportée par l'échantillon soit variable d'un échantillon à l'autre, la quantité d'eau apportée par le solvant est toujours la même, quel que soit l'échantillon. On pourrait donc la considérer comme constante mais je ne connais pas cette constante exactement. Je l'ai mesurée expérimentalement. J'en obtiens donc une moyenne et un écart-type ( et ).
Je travaille sur deux familles d'échantillons: des échantillons hydratés et des échantillons séchés. Pour les échantillons hydratés, la quantité d'eau contenue dans l'échantillon est très grande devant la quantité d'eau contenue dans le solvant. L'incertitude sur la quantité d'eau contenue dans le solvant est donc négligeable. Ce cas pose peu de problèmes. Par contre, pour les échantillons séchés, la quantité d'eau contenue dans l'échantillon (faible) est proche de celle contenue dans le solvant (faible également). L'incertitude sur la quantité d'eau du solvant n'est plus négligeable. Dans l'expression de mes résultats, j'aimerais pouvoir rendre compte du fait que l'écart-type sur les échantillons séchés est (beaucoup) plus grand que celui sur les échantillons hydratés.


Merci pour votre aide.

Bien cordialement,

JeanClaude54

[gg0]

Bonjour.

Pour la covariance, il faut connaître la loi jointe de (Y,Z); à défaut, pouvoir l'estimer. j'ai cité la formule parce qu'elle existe, mais je ne croyais pas à son utilité pratique. Sauf si Y et Z sont quasi indépendantes (covariance nulle).

Tu pourrais éventuellement utiliser l'idée que "la quantité d'eau apportée par le solvant est constante", en prenant comme constante la valeur moyenne trouvée. Et vérifier si modifier cette constante (dans les bornes de l'intervalle d'incertitude) change vraiment les incertitudes finales. C'est la technique habituelle de "petites perturbations" : On fait un calcul, et on teste s'il est sensible à de faibles perturbations des conditions initiales.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Petite observation sur un plan strictement scientifique : je suis un peu étonné qu'à une question précise "comment calculer l'écart type d'un résultat" il puisse y avoir plusieurs réponses et surtout pas de consensus sur la réponse définitive.

[leon1789]

Concernant les autres propositions, j'ai du mal à concevoir que l'expression de l'écart-type de X soit issu d'une différence entre les écart-types de Y et Z. A ce moment là, comme le fait remarquer Dlzlogic, il est possible d'accéder à un écart-type nul de X, ce qui n'est clairement pas réaliste. Je me serais attendu à une somme plutôt qu'à une différence.

J'ai pourtant pris soin de bien préciser l' hypothèse d'indépendance entre X et Z ! Si on oublie les hypothèses qui permettent de justifier un résultat, il n'est pas étonnant d'obtenir des choses étranges...

Forcer l'écart-type de X a être nul n'a rien de fondé si l'on conserve l'hypothèse d'indépendance de X et Z.

On peut se demander ce que signifie "ajuster un écart-type par rapport à l'autre, tout simplement en jouant sur le nombre de mesures". Si quelqu'un a une idée, je suis preneur de l'explication

Dans l'expression de mes résultats, j'aimerais pouvoir rendre compte du fait que l'écart-type sur les échantillons séchés est (beaucoup) plus grand que celui sur les échantillons hydratés.

Là, je ne vois pas comment c'est possible puisque "échantillons hydratés (Y) = échantillons séchés (X) + solvant (Z)" (et de plus, c'est justement cela qui pousse à dire que Y et Z ne sont pas indépendants, idem pour Y et X).
Encore une fois, l'indépendance vraisemblable de X et Z (ou alors, il faut m'expliquer pourquoi X et Z seraient liés) implique que la variance de Y est plus grande que celle de X (et que celle de Z aussi). Idem pour les écart-types.

[leon1789]

Bonsoir,
Petite observation sur un plan strictement scientifique : je suis un peu étonné qu'à une question précise "comment calculer l'écart type d'un résultat" il puisse y avoir plusieurs réponses et surtout pas de consensus sur la réponse définitive.

Il y a plusieurs réponses précises et justifiées : voir mon message http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4499564
toothpick-charlie a rappelé un théorème mathématique général qui sert à justifier la formule que Tryss et moi-même obtenons sous l'hypothèse d'indépendance vraisemblable de X et Z ;

gg0 indique une formule sans hypothèse (qui d'ailleurs rejoint l'autre formule si on ajoute hypothèse d'indépendance de X et Z...).

Il n'y a rien d'étonnant à avoir plusieurs théorèmes mathématiques, chacun d'eux ayant ces propres hypothèses et sa propre conclusion. Ces résultats ne sont pas incompatibles, bien au contraire, certains sont déduits des autres.

[leon1789]

Pour la covariance, il faut connaître la loi jointe de (Y,Z); à défaut, pouvoir l'estimer. j'ai cité la formule parce qu'elle existe, mais je ne croyais pas à son utilité pratique.

Pourquoi n'aurait-elle pas d'utilité pratique ? Avec des échantillons y_i et z_i, on peut estimer les variances et , puis estimer la covariance cov(Y,Z). On récupérera ainsi une estimation de la variance .

Même remarque pour la formule : des échantillons y_i et z_i permettront de faire des estimations.

[leon1789]

Encore une fois, l'indépendance vraisemblable de X et Z (ou alors, il faut m'expliquer pourquoi X et Z seraient liés) implique que la variance de Y est plus grande que celle de X (et que celle de Z aussi). Idem pour les écart-types.

ah, j'ai été un peu vite, je rectifie en tenant compte des constantes a et b que j'avais oubliées :
on a aY= X+bZ et donc l'indépendance de X et Z implique que la variance aY est plus grande que celle de X (et que celle de bZ aussi). Idem pour les écarts-types.

[invite179e6258]

Pourquoi n'aurait-elle pas d'utilité pratique ? Avec des échantillons y_i et z_i, on peut estimer les variances et , puis estimer la covariance cov(Y,Z). On récupérera ainsi une estimation de la variance .

c'est pas faux, mais si tu disposes d'un échantillon, autant estimer directement la variance de X.

[gg0]

Je plussoie !

Sinon, j'ai l'impression que Léon a mal compris l'explication sur les deux types d'échantillons.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonjour,

On peut se demander ce que signifie "ajuster un écart-type par rapport à l'autre, tout simplement en jouant sur le nombre de mesures". Si quelqu'un a une idée, je suis preneur de l'explication

Là c'est très simple
On dispose de 2 mesures de la même choses m1 et m2, la moyenne (espérance) est M=(m1+m2)/2, l'écart-type est racine((M-m1)² + (M-m2)²) = e racine(2) si e=|M-m1|+|M-m2|
On dispose de 3 mesures de la même choses m1, m2 et m3, la moyenne (espérance) est M=(m1+m2+m3)/3, l'écart-type est racine (((M-m1)² + (M-m2)² + (M-m3)²/(N-1))
En d'autres termes un écart-type calculé avec 100 mesures est 10 fois plus petit qu'un écart type calculé à partir de 2 mesures.

[leon1789]

Sinon, j'ai l'impression que Léon a mal compris l'explication sur les deux types d'échantillons.

effectivement, en pensant toujours à "X,Y,Z", j'ai lu trop vite les détails donnés par Jean-Claude54.