Bonjour (:
Voila, je fais quelques petites recherches à propos de la conjecture de Kepler, et il y a quelque petit truc que je ne comprends pas très bien.
Les informations que j'ai trouvé se trouvent sur ce site: http://blog.kleinproject.org/?p=779&lang=fr
Il y a un passage en particulier qui me perturbe un peu:
On considère un pavage du plan avec des disques de rayon quicklatex.com-cec8332c19792701773da7b43b519c80_l3.png . On recouvre chaque disque par un disque de même centre mais de rayon quicklatex.com-1e5fb0ffe8be82874dbe826bba685525_l3.png , que l’on appelle un grand disque. On peut maintenant définir nos trois régions. La première région est le complément de l’union des grands disques. Clairement cette région est de densité 0. Selon la distance entre les centres des disques, les grands disques peuvent ou non se chevaucher partiellement les uns les autres. Lorsque des grands disques se chevauchent, les cercles qui les délimitent s’intersectent. On relie ces points d’intersection aux centres des disques. Ce procédé découpe les grands disques en secteurs. Il existe deux sortes de secteurs :
region4FR.jpg
Figure 4 : Les deux sortes de régions de densité non nulle.
Les secteurs dans lesquels les grands disques ne se chevauchent pas entre eux (voir Figure 4 (a)). Dans de tels secteurs la densité est égale à
quicklatex.com-7a5b412bf3acabb8882fdc0cf1c6347e_l3.png
Les secteurs dans lesquels les grands disques se chevauchent, comme dans la Figure 4 (b). On prend ces secteurs par paires, comme sur la figure. L’union des deux secteurs est un losange et on a seulement besoin de considérer la densité à l’intérieur de ce losange. Comme la distance entre les centres des disques est d’au moins 2r puisque les disques ne se recouvrent pas, un calcul montre que l’angle maximum pour les secteurs est quicklatex.com-ca330288698fab6c5ba4788884d3a13e_l3.png. Soit Ɵ l’angle du secteur. La densité à l’intérieur du losange dépend de Ɵ : elle est donnée par le quotient des aires des deux secteurs des disques par l’aire du losange. Chaque secteur de disque a pour aire rƟ/2 . Ainsi, l’aire du losange couverte par les disques est rƟ. L’aire d’un losange de coté R et d’angle Ɵ est donnée par la décomposition du losange en triangles. Elle vaut: 2Rsin Ɵ/2 cos Ɵ/2. Par conséquent la densité est
Il suffit d’étudier la fonction µ(Ɵ) sur [0; π/3] et de voir qu’elle atteint son maximum pour. En effet,
puisque .
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(Désolée pour les (probables) fautes d'inattention lors du copiage des équations!)
Donc, si j'ai bien compris l'angle maximal pour ϴ =
La densité de la surface = Aire des cercles/Aire total du losange
Aire des cercles ~> On utilise la formule
Pareil pour le calcul de l'aire du losange, moi, j'obtiens :
De plus, est ce que quelqu'un pourrai m'expliquer cette partie:
Les secteurs dans lesquels les grands disques ne se chevauchent pas entre eux (voir Figure 4 (a)). Dans de tels secteurs la densité est égale à
PS : c =
Merci pour les éventuelles réponses (:
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