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Exercice exponentiel, besoin d'aide



  1. #1
    melow

    Red face Exercice exponentiel, besoin d'aide


    ------

    Voila l'exercice :
    f est une fonction dérivable sur R et f ' est sa dérivée. Ces fonctions verifient les propriétés suivante :
    * pour tout x réel, on a (f '(x))² - (f(x))² = 1 (E)
    * f ' (0) = 1
    * la fonction f ' est dérivable sur R
    1.a) Montrer que pour tout x réel, f '(x) est différent de 0
    b) Calculer f(0)
    2. En dérivant chaque membre de l'égalité (E), montrer que pour tout x réel on a f "(x) = f(x) où f "(x) est la fonction dérivée seconde de f
    3. On pose u = f ' + f et v = f ' - f
    a) Calculer u(0) et v(0)
    b) Montrer que u' = u et v' = -v
    c) En déduire les expressions des fonctions u et v
    d) En déduire que, pour tout x réel, on a f(x)= ( exp (x) - exp (-x) ) / 2
    4.a) Etudier les limites de f en + infini et - infini
    b) Dresser le tableau des variation de la fonction f

    Pour la question 1.b) j'ai trouver f(0)=0
    A la questin 3.a) j'ai trouver u(0)=1 et v(0)=1
    Pour la 4.a) j'ai trouver la limite en - infini qui fait - l'infini et et la limite en + infini qui fait + l'infini, et la 4.b) j'ai compris ce qu'il falait faire.
    Par contre pour le reste de l'exercice je n'y arrive pas, si quelqu'un pourai m'expliquer ce qu'il fait faire... Merci

    -----

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  3. #2
    shokin

    Re : Exercice exponentiel, besoin d'aide

    b) Montrer que u' = u et v' = -v
    c) En déduire les expressions des fonctions u et v
    d) En déduire que, pour tout x réel, on a f(x)= ( exp (x) - exp (-x) ) / 2
    4.a) Etudier les limites de f en + infini et - infini
    b) Dresser le tableau des variation de la fonction f

    Pour la question 1a : si f'(x)=0, alors ... ce qui est impossible car ... (pente nulle si fonction constante)
    Pour la question 1b, effectivement f(0)=0

    Pour la 2, (f'(x)^2)' - (f(x)^2)' = 0.
    2f'(x)*f''(x) - 2f(x)*f'(x) = 0.
    f''(x)-f(x) = 0.

    Pour la 3b, u = f ' + f et v = f ' - f
    u' = f'' + f' et v' = f'' - f'

    Or on vient de démontrer que f'' = f'.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #3
    melow

    Re : Exercice exponentiel, besoin d'aide

    oki, merci en effet c'était tout bête mais je me rapellais plus de la formule de dérivation de fonction je dérivais comme si c'était x à la place de f(x) alors évidement je trouvais pas.

    par contre pour la 3.d) j'ai toujours pas compris comment on fesait pour se ramené a l'équation f(x)= (exp(x)-exp(-x))/2

  5. #4
    melow

    Re : Exercice exponentiel, besoin d'aide

    ah si c'est bon je viens de trouver c'est parce que u'(x) = exp(x) et v'(x) = -exp(-x)

  6. A voir en vidéo sur Futura

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