Exercice exponentiel, besoin d'aide

[invite18197405]

Voila l'exercice :
f est une fonction dérivable sur R et f ' est sa dérivée. Ces fonctions verifient les propriétés suivante :
* pour tout x réel, on a (f '(x))² - (f(x))² = 1 (E)
* f ' (0) = 1
* la fonction f ' est dérivable sur R
1.a) Montrer que pour tout x réel, f '(x) est différent de 0
b) Calculer f(0)
2. En dérivant chaque membre de l'égalité (E), montrer que pour tout x réel on a f "(x) = f(x) où f "(x) est la fonction dérivée seconde de f
3. On pose u = f ' + f et v = f ' - f
a) Calculer u(0) et v(0)
b) Montrer que u' = u et v' = -v
c) En déduire les expressions des fonctions u et v
d) En déduire que, pour tout x réel, on a f(x)= ( exp (x) - exp (-x) ) / 2
4.a) Etudier les limites de f en + infini et - infini
b) Dresser le tableau des variation de la fonction f

Pour la question 1.b) j'ai trouver f(0)=0
A la questin 3.a) j'ai trouver u(0)=1 et v(0)=1
Pour la 4.a) j'ai trouver la limite en - infini qui fait - l'infini et et la limite en + infini qui fait + l'infini, et la 4.b) j'ai compris ce qu'il falait faire.
Par contre pour le reste de l'exercice je n'y arrive pas, si quelqu'un pourai m'expliquer ce qu'il fait faire... Merci
-----

[shokin]

b) Montrer que u' = u et v' = -v
c) En déduire les expressions des fonctions u et v
d) En déduire que, pour tout x réel, on a f(x)= ( exp (x) - exp (-x) ) / 2
4.a) Etudier les limites de f en + infini et - infini
b) Dresser le tableau des variation de la fonction f

Pour la question 1a : si f'(x)=0, alors ... ce qui est impossible car ... (pente nulle si fonction constante)
Pour la question 1b, effectivement f(0)=0

Pour la 2, (f'(x)^2)' - (f(x)^2)' = 0.
2f'(x)*f''(x) - 2f(x)*f'(x) = 0.
f''(x)-f(x) = 0.

Pour la 3b, u = f ' + f et v = f ' - f
u' = f'' + f' et v' = f'' - f'

Or on vient de démontrer que f'' = f'.

Shokin

[invite18197405]

oki, merci en effet c'était tout bête mais je me rapellais plus de la formule de dérivation de fonction je dérivais comme si c'était x à la place de f(x) alors évidement je trouvais pas.

par contre pour la 3.d) j'ai toujours pas compris comment on fesait pour se ramené a l'équation f(x)= (exp(x)-exp(-x))/2

[invite18197405]

ah si c'est bon je viens de trouver c'est parce que u'(x) = exp(x) et v'(x) = -exp(-x)

[A voir en vidéo sur Futura]