Vrai ou faux algèbre

[invite30fe7136]

bonsoir à tous, j'ai un QCM d'algèbre à faire mais je bloque sur certaines questions...
1)Le groupe des rotations de R^3 preservant un cube est isomorphe a S4: aucune idée pour celle la
2) A isomorphisme près, il existe deux groupes commutatifs d'ordre 18: pour celui la j'ai décomposé 18=2*3*3 donc il y à Z/2Z*Z/9Z et Z/2Z*Z/3Z*Z/3Z donc y'en a bien deux c'est ça?
3)1)Il existe un sous-groupe d'ordre 4 dans A5: j'aurai dis que l'ordre de A5 c'est 5*3*2*2 et je crois qu'après il existe un théorème pour donner l'ordre des sous groupes mais je ne m'en rappelle plus du tout
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[alebot]

Bonsoir,

Il faut utiliser les théorèmes de Sylow.

[invite30fe7136]

ah ok on peut ecrire G=G(2)G(3)G(5) donc il y a un groupe d'ordre 5, un de 3 et un de 2²=4 c'est ça?
et pour la première question on utilise quoi?

[Seirios]

Bonjour,

1)Le groupe des rotations de R^3 preservant un cube est isomorphe a S4: aucune idée pour celle la

Tu peux regarder ceci.

2) A isomorphisme près, il existe deux groupes commutatifs d'ordre 18: pour celui la j'ai décomposé 18=2*3*3 donc il y à Z/2Z*Z/9Z et Z/2Z*Z/3Z*Z/3Z donc y'en a bien deux c'est ça?

Un groupe abélien d'ordre 18 s'écrit sous la forme où . De plus, tu sais que et sont isomorphes ssi et sont premiers entre eux. À partir de là, il n'y a que quelques cas à distinguer.

3)1)Il existe un sous-groupe d'ordre 4 dans A5: j'aurai dis que l'ordre de A5 c'est 5*3*2*2 et je crois qu'après il existe un théorème pour donner l'ordre des sous groupes mais je ne m'en rappelle plus du tout

Comme l'a dit alebot, c'est une conséquence immédiate de l'existence d'un 2-Sylow.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30fe7136]

ok merci, une autre petite question on me dit que GL2(Z/5Z) est d’ordre 24.20 = 480. euh comment on trouve ça?

[Seirios]

Une matrice carrée est inversible ssi les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants ; pour une matrice de , tu as donc choix pour la première colonne (n'importe quel vecteur non nul) et choix pour le second.