Bonjour,
On considère la fonction f: x----->.
J'ai réussi à montrer la convergence uniforme de la série associée à f sur les [a,+
Donc f est continue sur ]0, +
Cependant on veut montrer que f est intégrable en 0, ou au moins que l'intégrale de f de 0 à 1 existe. Or f diverge en 0.
Je ne sais pas comment m'y prendre, pouvez vous m'aider svp?
Bonjour.
Ta série étant géométrique, il est facile d'exprimer la somme. On obtient une fonction qui a le bon goût de se prolonger par continuité en 0, et d'avoir même des primitives faciles à calculer.
Bon travail !
Merci beaucoup. Problème: je dois établir le même résultat en remplaçant la suite (k) dans l'exponentielle par une suite (un) strictement croissante qui tend vers +
Malheureusement la série géométrique ne marche plus...
Le caractère strict attire l'oeil, mais bon...
Bonjour,
Si j'ai bien compris, vous voulez démontrer l'intégrabilité sur [0,1] dans le cas où
la suite u_k étant strictement croissante de limite l'infini. Je vais supposer que vous avez fait l'étude de la convergence sur ]0,\infty[ (donc f est continue sur cet intervalle).
Sauf erreur, voici une possibilité:
1) Je vous laisse montrer que l'on peut supposer que u_k>0 pour tout k, hypothèse que je fait désormais (laissez tomber un certain nombre de premiers termes; attention, cela sera à prendre en compte pour l'intégrabilité sur ]0,+\infty[; par contre pas sur [0,1]).
2) On pose
On a
La suite f_N est une suite croissante (donc f_{N+1}(x)\geq f_N(x)) de fonctions positives sur [0,+\infty[, qui converge vers g(x) qui vaut f(x), sauf pour x=0, (g(0)=0, mais f(0) n'existe pas). On a donc f(x) positif ou nul si x>0.
3) On a pour x>0
Pour x>0, on a R(x)\geq 0. Donc :
Et je vous laisse conclure.
Cordialement.
Merci bien!
