théorie des modèles ( théorie complète )

[invitea69c8604]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider pour cet exercice :

Soit T la théorie des ordres denses avec minimum et maximum dans le langage {<}
Montrez que T est complète.

Merci !
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[Médiat]

Bonjour,

Vous avez posté en quelques minutes, les énoncés de 3 exercices en nous demandant de les faire pour vous ce n'est pas du tout dans l'esprit de ce forum !

Je vous donne une indication pour celui-ci, mais pour les autres, j'attendrai de voir votre travail.

Il est très facile de démontrer que votre théorie (ordres linéaires denses avec minimum et maximum) est -catégorique (par un argument de va-et-vient), donc complète.

La précision "linéaires" est importante pour la démonstration de la catégoricité (quels théorèmes avez-vous vu pour démontrer qu'une théorie est complète ?) !

[invitea69c8604]

J'ai posté ces trois exercices car je n'ai pas d'idée de comment les résoudre. Je ne demandais pas la réponse toute faite mais bien une aide pour les résoudre. Désolé si j'ai fait passer un message à l'encontre de l'esprit de ce forum.

J'ai vu le théorème suivant : Soit L un langage dénombrable. Toute L-théorie T qui n'a que des modèles infinis et qui est K-catégorique pour un certain cardinal K infini, est complète.

Avec votre indication, je vais essayer de montrer que ma théorie est catégorique.
Mais j'ai un soucis : ma théorie des ordres denses avec maximum et minimum ne possède pas que des modèles infinis (vu que c'est ordres denses avec maximum), si ?

Merci pour votre aide.

[Médiat]

J'ai vu le théorème suivant : Soit L un langage dénombrable. Toute L-théorie T qui n'a que des modèles infinis et qui est K-catégorique pour un certain cardinal K infini, est complète.

Parfait, c'est celui que je vous propose d'utiliser.

Mais j'ai un soucis : ma théorie des ordres denses avec maximum et minimum ne possède pas que des modèles infinis (vu que c'est ordres denses avec maximum), si ?

Pour être précis, un singleton muni de l'égalité est un ordre dense avec maximum et minimum donc votre théorie n'est pas complète, mais en général, on élimine ce cas par une précision (en précisant "avec au moins deux éléments", ou "maximum et minimum sont différents", par exemple), sinon votre énoncé est faux.

Si on élimine le cas précédent, votre théorie n'a que des modèles infinis, et le théorème s'applique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea69c8604]

Merci pour cette réponse.

J'ai aussi vu que la théorie des ordres denses sans premier ni dernier élément est -catégorique. (preuve par la méthode du va-et-vient)
Mais, je ne vois alors pas qu'est-ce qui différencie la preuve des ordres denses sans premier ni dernier élément avec la preuve des ordres denses avec minimum et maximum.

[Médiat]

J'ai aussi vu que la théorie des ordres denses sans premier ni dernier élément est -catégorique. (preuve par la méthode du va-et-vient)
Mais, je ne vois alors pas qu'est-ce qui différencie la preuve des ordres denses sans premier ni dernier élément avec la preuve des ordres denses avec minimum et maximum.

Bonjour,

Il y a très peu de différences :
1) dans le cas sans extremum, on peut envoyer n'importe quel élément du premier modèle sur n'importe quel élément du deuxième, en se contentant de respecter l'ordre.
2) dans le cas avec extremum, il faut, en plus, envoyer le minimum sur le minimum, et le maximum sur le maximum.

[invitea69c8604]

Merci pour cette aide !

( J'ai mis mes pistes de réponse pour les deux autres questions que j'avais posé, si vous pouviez y jeter un coup d’œil ? )