matrice de passage/base

[Minialoe67]

Bonjour

E=R₂[X]
B={1,X,x²}
soit P un polynôme de R₂[X] et f l'application linéaire f(P)= 1/2 (P (X/2) + P ((X+1)/2) )
Soit A la matrice 3*3 :
1 1/4 1/8
0 1/2 1/4
0 0 1/4
B'={1,-2X+1,6X²-6X+1}

a) Je dois expliquer pourquoi B' est une base de E.
Pouvez vous me dire ce qu'il faut dire?

b) Donner la matrice de passage P de B à B'
J'ai calculé f(1)=1, f(-2X+1)=-X +1/2, f(6X2-6X +1)=3/2X² -3/2X +1/4
et j'ai mis ça dans une matrice (en fonction de 1,X,X²) et ça me donne:
1 1/2 1/4
0 -1 -3/2
0 0 3/2

Est-ce juste?

Merci de me répondre
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[invited9b9018b]

Bonsoir,

a) Demandez vous quelle est la façon la plus simple de montrer que B' est une base de E sachant déjà que B' possède "dim E" élements.
b) Je ne vois pas ce que f vient faire dans la matrice de passage de B à B' ? Pour écrire cette matrice il faut exprimer les vecteurs de la base B' dans la base B.

A+

[Minialoe67]

1) en montrant qu'elle est libre?

2)
1 1 1
0 -2 -6
0 0 6

C'est alors ça?

[invited9b9018b]

Oui

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

1) en montrant qu'elle est libre?

Juste une petite remarque : Sur le principe, tu pourrais tout aussi bien choisir de montrer que la famille B' est génératrice, compte tenu du fait qu'elle comprend (dim E) vecteurs, cela serait suffisant de la même manière, ... mais il est clair que, pratiquement, montrer que cette famille est libre est immédiat.

[PlaneteF]

(...) tu pourrais tout aussi bien choisir de montrer que la famille B' est génératrice (...)

"génératrice de E" pour être plus précis !