Une relation d'equivalence

[invited7e4cd6b]

Bonjour F.S.,

Je voudrais que vous m'aidiez a voir d'ou vient ce passage que j'ai trouvé dans une démonstration:
Soit un groupe multiplicatif de .
On définit cette relation d’équivalence: Il existe , tel que

On écrit ensuite qu'une classe d'équivalence d'un élément y est réduite à un singleton si, et seulement si, y est dans le centre du groupe, i.e. qu'il commute avec tout autre élément de G. Et je ne comprend pas pourquoi?!

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

L'orbite de est un singleton ssi pour tout ; autrement dit, commute avec tout élément de , ce qui est précisément la définition du centre d'un groupe.

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,

Oui mais c'est quoi la relation avec notre relation d’équivalence ainsi définie?
J'ai peut être mal posé ma question, désolé.

[Seirios]

Effectivement, je ne comprends pas ta question... est simplement la relation de conjugaison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

En fait si la classe d’équivalence de est un singleton, cela veut forcement dire que c'est lui même (la relation est réflexive).

Cela veut juste dire que pour tout autre différent de , on ne peut pas trouver un telque: .

Comment en tirer que est dans le noyau de G: ?

[invited7e4cd6b]

C'est bon merci, j'ai trouvé.

En fait, ce n'est pas une relation d’équivalence. Et ce singleton est forcement l’élément neutre.

[invited7e4cd6b]

Rebonsoir,

J'ai fais une gaffe.

J'ai trouvé l'explication.
Merci Seirios.