Modélisation de la photosynthèse -> résolution d'équation

[invite0ef81146]

Bonjour,

Je suis doctorant et j'étudie la photosynthèse. Je suis en train de soumettre une publication mais je suis confronté à un problème d'équation sans solution.

J'étudie la réduction des photosystèmes 2 (premiers maillons de la photosynthèse) à la lumière grâce aux mesures de fluorescence. Lorsqu'on éclaire un photosystème 2, celui-ci se réduit et son rendement de fluorescence augmente. On peut donc suivre la réduction des photosystèmes en mesurant leur rendement de fluorescence.

On a donc la formule :

(1) avec k la constante de réduction et rFv(t) la fluorescence normalisée de 0 à 1.

Cependant, les photosystèmes 2 sont associés par 2 et peuvent partager leur énergie d'excitation. Si bien qu'un photosystème 2 qui est réduit et qui est excité peut transférer son énergie d'excitation à son voisin. Du coup, le rendement de fluorescence n'augmente que lorsque les 2 photosystèmes sont réduits. On obtient alors cette formule :

(2) avec p qui est la connectivité (l' habilité à partager son énergie d'excitation avec son voisin).

Il est tout à fait possible de réaliser un fit de cette équation sur des données expérimentales et de déterminer k (constante de réduction) et p (connectivité).

Cependant, un des reviewers m'a titillé en me signalant que la constante de réduction k varie en fonction de la connectivité selon la formule (3) avec k0 la constante de réduction au temps 0 lorsque tous les photosystèmes 2 sont oxydés.
k n'est donc pas une constante... Et le problème est là car k(t) dépend de PSIIclosed (t) (eq. 3). PSIIclosed (t) depend dépend de k(t) (eq. 1) et ainsi de suite... Le serpent se mort la queue. Il m'est donc impossible de faire un fit.

Donc lorsque je faisais un fit à partir des équations 1 et 2 combinées, je calculais une sorte de "moyenne" de k(t) (je considérais que k était une constante alors qu'elle ne l'est pas). Hors, les reviewers voudraient que je détermine le k0 au temps 0.

N'étant pas mathématicien, je me demande si il est possible de remanier les équations afin que je m'en sorte et que je puisse déterminer k0. Ou alors à partie de ma moyenne de k(t) (que j'obtiens en utilisant uniquement les équations 1 et 2), retomber sur k0.

C'est un sujet assez pointu donc je ne sais pas si j'ai été très clair mais n'hésitez pas à me demander des explications!

Petit bonus: ceux qui m'aideront à trouver une solution se verront remerciés dans ma publication (je mettrais votre nom dans les remerciements à la fin du papier).
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Les détails concernant le sujet précis de votre thèse me dépassent très largement.
Par contre, si j'ai bien compris, vous avez 3 variables qui varient indépendamment.
Vous cherchez à établir une fonction entre ces 3 variables
Si c'est ça, je sais le faire. Par ailleurs, j'ai aussi une méthode qui établit une fonction qui prend de 4 à 16 variables.

[invite0ef81146]

Merci pour cette réponse rapide!

Nous avons donc la formule :
(4) avec (5) et (6)

Le problème se situe au niveau des équations 5 et 6 car elles dépendent l'une de l'autre...

Je dispose de l'information rFv(t) (varie de 0 à 1) et je veux trouver p et k0.
Je ne connais pas PSIIclosed(t) et k(t) car je ne peux pas les mesurer expérimentalement. Ces derniers varient en fonction du temps.

J'aimerais obtenir une solution mathématique à ce problème (en d'autres mots : une seule équation) afin de pouvoir réaliser une régression non-linéaire. Ce dernier point est assez important car une partie de mon papier fait intervenir le coéfficient AIC (Akaike information criterion) et celui-ci n'est utilisable que dans le cas de régressions. Et je n'ai évidement pas envie de réécrire tout le papier... Sauf si c'est impossible bien sûr .

[Dlzlogic]

Ce que je peux faire, avec toutes les explications voulues, c'est à partir de triplets d'observations trouver une formule, par une méthode de régression qui donne une valeur en fonction de deux autres.
Soit vous m'envoyez votre liste, soit je vous expliquer la méthode et vous faites le calcul vous même, soit je vous donne le module concerné.
Par contre, si vous n'avez pas d'observation, mais que vos formules sont connues, rigoureuses etc, on peut aussi créer artificiellement ces triplets qui ne seront plus observés mais théoriques et appliquer la méthode connue sous le nom de Monte-Carlo.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0ef81146]

Qu'entendez vous par "triplet" d'observation ? 3 observations indépendantes ?

Je suis tout à fait d'accord de le faire moi-même mais étant donné que mon niveau en mathématique est assez basique, je risque de patauger si le développement est trop complexe...

Ce dont je dispose : des observations contenant la valeur de l'émission de fluorescence (rFv(t)) en fonction du temps. Ci-joint, un fichier contenant un exemple ainsi qu'une image pour illustrer le tout.



Enfin, qu'entendez vous par "module" ? Un programme ?

Un grand merci!

montées de fluo-forum.jpeg

montées de fluo-forum.txt

[Dlzlogic]

Quand on fait une régression (habituelle) on dispose d'un certain nombre de couple (x,y). Un triplet, c'est la même chose, mais avec (x,y,z). C'est ce que j'ai cru comprendre dans votre premier message.
J'ai bien reçu le fichier texte. Apparemment il contient 8 informations par ligne, plus la première colonne.
Donc, on pourrait comprendre qu'il s'agit de 9-plets (?)
Par module, oui, je suis (aussi) informaticien et donc j'ai des programmes qui calculent ce genre de chose.
L'image jointe est vraiment très petite, mais on distingue les 8 états.
Mais si vous employez des termes de biologie, là je comprends plus rien.

[leon1789]

Je dispose de l'information rFv(t) (varie de 0 à 1) et je veux trouver p et k0.
Je ne connais pas PSIIclosed(t) et k(t) car je ne peux pas les mesurer expérimentalement. Ces derniers varient en fonction du temps.

Bonsoir

Je ne sais si j'ai bien tout compris :
pour un temps t, vous connaissez uniquement rFv(t), et vous ne connaissez ni k(t), ni PSII(t), ni les constantes p et k0 : c'est d'ailleurs ces constantes que vous cherchez.

Dans votre fichier txt,
la première colonne donne des temps t (21, 31, 41, ...)
la seconde colonne donne les valeurs rFv(t) pour un certain état n°1 (je n'ai pas tenu compte des autres états...)

Le problème est plus compliqué qu'une régression car il y a des fonctions définies de manière implicite ( k(t) et PSII(t) ), d'où la difficulté.

J'ai donc recherché des valeurs p et k0 qui permet d'avoir des PSII(t) et k(t) cohérents pour tous les temps t.

J'ai trouvé p = 0.178 et k0 = 0.0035615 (pour l'état n°1)

Voici les résultats numériques des calculs pour que vous puissiez vérifier la cohérence des valeurs :

        	t	rF(t) observé	rFv(t) calculé	PSII(t)        	k(t) 
        	21	0,0560256	0,060775818	0,072976101	0,003608378
		31	0,082704458	0,089181152	0,106437396	0,003630286
		41	0,107097576	0,117206675	0,139057836	0,003651901
		51	0,132633564	0,144828507	0,170832759	0,003673204
		61	0,158205267	0,172023887	0,201759091	0,003694178
		71	0,18256267	0,198771303	0,231835363	0,003714806
		81	0,209277242	0,225050609	0,261061722	0,003735073
		91	0,238313268	0,250843121	0,289439912	0,003754964
		101	0,26502784	0,276131699	0,316973245	0,003774468
		111	0,290563828	0,300900827	0,343666576	0,003793571
		121	0,318421269	0,32513667	0,36952626	0,003812263
		131	0,343957257	0,348827099	0,394560074	0,003830534
		141	0,364886052	0,371961731	0,418777171	0,003848376
		151	0,388100587	0,39453195	0,442188017	0,003865784
		161	0,417136612	0,416530874	0,464804288	0,00388275
		171	0,439172563	0,437953324	0,486638762	0,003899272
		181	0,462387097	0,458795827	0,507705282	0,003915347
		191	0,482137309	0,479056515	0,528018591	0,003930972
		201	0,506530427	0,498735116	0,547594299	0,003946149
		211	0,525102055	0,517832802	0,566448692	0,003960877
		221	0,543673682	0,536352204	0,584598732	0,00397516
		231	0,56110244	0,554297257	0,60206189	0,003988999
		241	0,580852652	0,57167315	0,618856087	0,004002399
		251	0,59942428	0,588486187	0,634999561	0,004015365
		261	0,613353	0,604743708	0,650510798	0,004027903
		271	0,627281721	0,620454034	0,665408487	0,004040018
		281	0,647031933	0,635626345	0,679711415	0,004051718
		291	0,660960653	0,650270479	0,693438299	0,004063011
		301	0,674889374	0,66439702	0,706607889	0,004073905
		311	0,687675225	0,678017082	0,719238785	0,004084408
		321	0,699282492	0,691142259	0,731349421	0,004094529
		331	0,714354082	0,703784569	0,742958032	0,004104278
		341	0,722497027	0,715956263	0,754082513	0,004113663
		351	0,736425747	0,727669962	0,764740567	0,004122696
		361	0,746890145	0,738938343	0,77494945	0,004131386
		371	0,757318828	0,749774267	0,784726109	0,004139742
		381	0,764283189	0,760190615	0,794087072	0,004147774
		391	0,775890456	0,770200327	0,803048497	0,004155493
		401	0,7840334	0,779816226	0,811626052	0,004162908
		411	0,788676307	0,789051066	0,819834976	0,004170029
		421	0,800283575	0,797917605	0,827690172	0,004176867
		431	0,804926481	0,806428229	0,835205896	0,00418343
		441	0,815390879	0,814595302	0,842396088	0,004189729
		451	0,820033786	0,822430931	0,84927419	0,004195771
		461	0,826998146	0,829946961	0,855853158	0,004201568
		471	0,833962507	0,837155025	0,862145524	0,004207127
		481	0,837462544	0,844066473	0,868163361	0,004212457
		491	0,844426905	0,850692405	0,873918315	0,004217567
		501	0,847891227	0,8570436	0,879421572	0,004222465
		511	0,857177041	0,863130583	0,884683922	0,004227159
		521	0,860677079	0,868963532	0,889715698	0,004231658
		531	0,866462855	0,874552368	0,894526865	0,004235968
		541	0,871105762	0,879906682	0,899126969	0,004240097
		551	0,875748669	0,885035772	0,903525179	0,004244053
		561	0,879248706	0,889948629	0,907730288	0,004247842
		571	0,88157016	0,894653944	0,911750727	0,004251471
		581	0,886213067	0,899160119	0,915594583	0,004254946
		591	0,889713104	0,90347525	0,919269594	0,004258274
		601	0,89549888	0,907607155	0,922783179	0,004261461
		611	0,897820334	0,911563357	0,926142434	0,004264512
		1021	0,972142559	0,985282625	0,987870542	0,00432137
		1121	0,977928335	0,99048067	0,99216183	0,004325379
		1221	0,981428372	0,993839102	0,994930182	0,004327969
		1321	0,983749826	0,996010765	0,996718519	0,004329644
		1421	0,984892695	0,997415984	0,997874961	0,004330728
		1521	0,990714186	0,998325751	0,998623357	0,004331432
		1621	0,990714186	0,99891499	0,99910795	0,004331887
		1721	0,991857056	0,999296747	0,999421854	0,004332181
		1821	0,99303564	0,999544136	0,99962525	0,004332372
		1921	0,994178509	0,999704477	0,999757067	0,004332496
		2021	0,995357093	0,999808411	0,999842508	0,004332577
		2121	0,994178509	0,999875787	0,999897895	0,004332629
		2221	0,995357093	0,999919467	0,999933801	0,004332662
		2321	0,996535677	0,999947785	0,999957079	0,004332682
		2421	0,998857131	0,999966148	0,999972174	0,004332725
		2521	0,995357093	0,999978051	0,999981958	0,004332725

[leon1789]

ah, j'oubliais : pour moi, la messagerie privée est inutile, je n'ai rien à cacher

[invite0ef81146]

Bonjour,

Je me suis probablement mal exprimé.

A l'attention de Dlzlogic : Je n'ai pas de triplet. Je n'ai que des observations (x,y). Dans le fichier que j'ai envoyé il y a 8 observations d'échantillons indépendants. Sait-on tout de même trouver une équation générale au problème ?

A l'attention de leon1789 : Je pense que vous avez bien compris le problème! Il m'est difficile de vérifier la cohérence des paramètres que vous avez déterminé car j'avais volontairement simplifié le problème. En réalité, il y a 3 types de PSII avec des constantes k0 et p différentes. Mais ça, c'est mon problème Néanmoins, il y a une certaine logique dans ce que vous avez trouvé. Comment avez vous procédé? Par itération ? Avez-vous réussi a déterminer une équation générale au problème? Avec l'aide d'un programme ?

Merci à vous deux pour vos réponses!

PS : je n'ai pas bien compris le dernier message sur la messagerie privée...

[leon1789]

A l'attention de leon1789 : Je pense que vous avez bien compris le problème! Il m'est difficile de vérifier la cohérence des paramètres que vous avez déterminé car j'avais volontairement simplifié le problème.

Disons que pour vérifier la cohérence des résultats sur le problème que tel que vous nous l'avez présenté,
on peut vérifier qu'à chaque instant t , en posant p = 0.178 et k0 = 0.00356, les valeurs rFv(t) calculé, PSII(t) et k(t) satisfont à la fois vos trois formules
(4) avec (5) et (6)
et également que le rFv(t) calculé est proche de votre rF_{V}(t) observé.

Bien sûr, il ne faut pas chercher une grande précision, disons grosso-modo deux chiffres significatifs (si nécessaire, on pourra essayer de faire mieux plus tard).

Comment avez vous procédé? Par itération ? Avez-vous réussi a déterminer une équation générale au problème? Avec l'aide d'un programme ?

Effectivement, c'est par itérations que le résultat a été exhibé : je n'ai pas de formule pour rF_{V}(t) en fonction uniquement de t (je pense qu'on ne peut pas résoudre votre système d'équation de manière formelle, ou exacte si vous préférez).
Je n'ai pas de programme "clef en main" qui résout votre problème (d'ailleurs, je ne sais pas si un tel problème existe...) : j'ai utilisé un tableur et des "astuces" pour trouver le point de convergence.

Sur le même principe, est-ce que vous voulez des résultats pour les autres états ?

[invite0ef81146]

C'est bien ce que je pensais... Je vais devoir passer par les itérations... Et changer mon papier
C'est gentil de me proposer des solutions pour les autres conditions mais comme je vous l'ai dis, j'avais simplifié le problème... Du coup, il faut que je le fasse moi-même afin d'obtenir des résultats censés!
Je suppose que vous avez utilisé le solveur d'excel... ? J'aimerais faire la même chose en utilisant un package R (langage de programmation statistique) car j'ai tout développé en R et il sera beaucoup plus simple pour moi de re-traiter les résultats! Si quelqu'un a une idée du package qui me conviendrait, je suis preneur

Un grand merci pour votre temps en tout cas!

PS si quelqu'un trouve une solution mathématique, je suis toujours preneur!

[leon1789]

Effectivement, je me suis aidé du solveur d'excel qui permet de résoudre des problèmes simples d'optimisation. Je ne connais pas le logiciel R.